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Betrag eines Vektors und Einheitsvektoren

Die Länge (Betrag) eines Vektors wird über den Satz des Pythagoras errechnet. Das lässt sich gut veranschaulichen anhand eines rechtwinkligen Dreiecks.

Stelle dir die Hypotenuse als Vektorpfeil vor. Die untere Kathete ist dann die -Komponente des Vektors, und die senkrechte Kathete ist die y-Komponente.

Vektorschreibweise:

Wende den Satz des Pythagoras an und errechne die Länge von .

Die Hypotenuse hat die Länge .

Die Quadrate der Katheten werden addiert und die Summe wird dann radiziert. So kannst du auch mit den Komponenten des Vektors verfahren.

Fazit: Die Hypotenuse und der Vektor haben die gleiche Länge von .

Jetzt verallgemeinere ich das Verfahren auf beliebig viele Komponenten. Die letzte Komponente hat den Namen .

Den Komponenten gebe ich einen ähnlichen Buchstaben wie dem Vektor.

Das ist die Länge (Betrag) des Vektors:

Auch auf die Einheitsvektoren kannst du das gleiche Verfahren anwenden.

Ein Vektor wird in einen Einheitsvektor umgewandelt, indem jede Komponente des Vektors durch seine Länge dividiert wird. Entnimm die Zahlen der oberen Zeichnung.

Untere Kathete:

Senkrechte Kathete:

Pythagoras:

Allgemein:

Auf den Hauptnenner gebracht, Die Summe der einzelnen Terme ergibt .

=

Damit ist die Länge der Einheitsvektoren eins.