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Beweis: Irrationalität von 2

Es fehlen die irrationalen Zahlen den ist in Q nicht lösbar, anders gesagt ist auf dem Zahlenstrahl zwischen zwei rationalen Zahlen:

1. x sei eine gekürzte rationale Zahl, also mit

2. daraus folgt

3. formt man den Term nach p² um erhält man was bedeutet p² ist gerade

4. ist p² gerade ist auch p gerade

5. daraus folgt, es gibt eine Zahl, mit p=2m rechnen wir zurück gibt das für p²=4m²

6. setzen wir nun die beiden Gleichungen und p²=4m² gleich erhalten wir für q²=2m² womit q² und somit auch q eine gerade Zahl sein muss

7. somit sind p und q beide durch 2 teilbar, dies steht aber in Wiederspruch zu Punkt 1, denn p und q müssten mit ggT(p,q) ja eigentlich teilerfremd sein.