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Bijektive Funktion

Definition: Bijektiv

ist eine Abbildung f, wenn sie surjektiv und injektiv ist. Dies sind 1:1 -Abbildungen.

Bei endlichen Mengen:

bijektiv (surjektiv und injektiv)

Bei der Bijektivität müssen die Definitionsmenge und Wertemenge gleich viele Elemente haben. Deshalb steht dort .

Es existiert bei bijektiven Abbildungen eine Umkehrabbildung.

Falls sie surjektiv und injektiv ist, d.h. falls es zu jedem genau ein gibt mit .

Bijektive Funktion

Beispiele

Die kubische Funktion schlängelt sich senkrecht um die y-Achse. Ein x-Wert ist eindeutig nur einem y-Wert zugeordnet und umgekehrt. Sie ist deshalb bijektiv.

Die quadratische Funktion hat zwei gegenüberstehende Äste, deren y-Werte zu zwei x-Werten mit unterschiedlichen Vorzeichen führen. Keine Bijektivität!

Die Sinusfunktion beginnt im Nullpunkt und schlängelt sich periodisch um die x-Achse hoch und runter. Wegen der vielen Wellen oberhalb und unterhalb der x-Achse ist eine eindeutige Zuordnung eines x-Werts zu einem x-Wert nicht möglich. Ein y-Wert kann zu ganz vielen unterschiedlichen x-Werte führen. Deshalb liegt keine Bijektivität vor.