Funktionstypen

Funktionsnamen

Bestimmte mathematische Ausdrücke haben auch eine bestimmte Funktion. Man kann mit ihnen schöne Kurven in einem Koordinatensystem zeichnen. Deshalb heißen diese Zeichenketten „Funktionsnamen“.

Beispiele

Abbildungen

Abbildungen zählen auch zu den mathematischen Strukturen. Man kann ja beliebige Abbildungen nochmals abbilden, bis man vor Erschöpfung zusammenbricht. Präzise gesprochen:

M := eine Menge

MM := die Menge der Abbildungen aller Abbildungen von M nach M

M hoch M ist weiter nichts als ein riesiges Tableau mit Zuordnungen zwischen den Elementen der Menge M zu den Elementen der abgebildeten Menge M. Anhand von praktischen Beispielen werdet ihr verstehen, was gemeint ist.

Die Hintereinander-Ausführung von Abbildungen ergibt wieder eine Abbildung von M nach M, gehört zur Klasse der Abbildungen. Seine Eigenschaft „Abbildung“ bleibt bei allen Abbildungen erhalten. Damit ist die Abbildung eine mathematische Struktur.

Der kleine Kreis ist übrigens ein beliebtes Symbol für die Hintereinander-Ausführung von Abbildungen.

Achtet auf den Sprachgebrauch: „Abbildung von M nach M“. Damit ist eine beliebige Abbildung gemeint.

Es gibt auch die Charakterisierung von Abbildungen wie „Abbildung von X in Y“ (Injektion „Hineinwurf“) oder „Abbildung von X auf Y“ (Surjektion „Draufwurf“).

Definition: Funktionen

Eine Zuordnung , die jeder Zahl x aus einer Menge (genannt: Definitionsmenge) genau eine Zahl aus einer Menge (genannt: Wertemenge) zuordnet, heißt Funktion.

Bemerkung über Funktionen: Funktionen sind eindeutige Zuordnungen, insofern nämlich, als jedem x genau ein y zugeordnet wird. Es gibt immer genau einen Funktionswert für jedes x aus der Definitionsmenge der Funktion.

Für manche Funktionen gilt auch das Umgekehrte, dass nämlich zu jedem Funktionswert y auch nur genau ein x-Wert existiert. Solche Funktionen heißen ein-ein-deutig oder umkehrbar eindeutig. Für solche Funktionen ist auch die umgekehrte Zuordnung eine Funktion. Die ursprüngliche Funktion heißt deshalb auch umkehrbar.

Definition: Funktion

Es seien und zwei beliebige Mengen. Wird durch eine Vorschrift jedem Element genau ein Element zugeordnet, so heißt eine Abbildung oder Funktion von in .

Gehören und zur Menge der reellen (komplexen) Zahlen, so spricht man von „Funktionen“. Ist dies nicht der Fall, so spricht man von Abbildungen.

Bezeichnung

Die Menge ist der Definitionsbereich von . Der kleine Buchstabe ist die Abkürzung für Funktion.

b = Bild, a = Urbild

Statt von Bildern bei einer Funktion könnte man auch von Input bzw. Output sprechen.

[image]

Funktion von in

Die gesamte Menge ist der Input, während der Output aus den Elementen der Menge besteht. Nicht alle Elemente in der Bildmenge müssen eine Zuordnung in der Urbildmenge haben.

Der Wertebereich von f ist

Mindestens ein Element a der Menge erfüllt die Funktion . Der Input der Funktion ist strikt vorgegeben. Von jedem Element der Inputmenge geht nur ein Pfeil, also eine Zuordnung aus. Der Output der Funktion ist ein Element b, das zum Wertebereich der Menge gehört. Nicht jedes Element des Wertebereiches braucht von einem Pfeil (Zuordnung) getroffen werden. Hauptsache, aus der Inputmenge werden alle Pfeile verschossen. Keiner darf ausbleiben, sonst handelt es sich nicht um eine Funktion, sondern eine Relation!

Beispiel

Mengenbereich:
Sinusfunktion:
kürzer:

Das ist eine Sinusfunktion, meist unter den Bezeichnungen bekannt.

Der Funktionsname kann mit einem Index versehen werden, der die Inputvariable angibt. Dadurch entfallen die Klammer.

Alte Notation: