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Umkehrfunktion

Definition: Umkehrfunktion

Die Funktion von in heißt Umkehrfunktion.

Bezeichnung

Die umgekehrte Zuordnung, die jedem y-Wert wieder seinen -Wert zuordnet, heißt Umkehrfunktion von .

Man verwendet für die Umkehrfunktion von das Symbol (Vorsicht: Das darf nicht verwechselt werden mit der Funktion .

Bestimmung der Umkehrfunktion: Man erhält die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion, indem man in der Gleichung der Ausgangsfunktion x und y vertauscht und dann nach y auflöst.

Man erhält den Graphen der Umkehrfunktion, indem man den Graphen der Ausgangsfunktion an der ersten Winkelhalbierenden spiegelt.

Beispiele für Umkehrfunktionen:

Beispiel

- Die Potenzfunktion ist umkehrbar über dem Intervall .

Die Gleichung der Umkehrfunktion lautet: .

- Die Exponentialfunktion ist über ganz umkehrbar.

Die Gleichung der Umkehrfunktion lautet:

.

Satz über Umkehrbarkeit

Wenn eine Funktion über einem Intervall streng monoton ist, dann ist sie über diesem Intervall auch umkehrbar.

Beispiel

Nur die positiven reellen Zahlen sollen gelten:

Gegebene Funktion

Die Umkehrfunktion ergibt

Satz über Umkehrbarkeit

Jede in ihrem Definitionsbereich streng monoton wachsende (fallende) Funktion einer Veränderlichen hat eine Umkehrfunktion.