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Funktionen

Eine Abbildung ist die Visualisierung einer Zuordnung zwischen verschiedenen Objekten. Dies wird in der Mathematik deutlich gemacht über das Koordinatensystem. Die Objekte sind hier Zahlen.

Ich spreche lieber von Funktionen als von Abbildungen, weil die Funktionen quantitativ gebraucht werden und Rechenvorschriften sind. Abbildungen (geometrische Gebilde) dienen nur der visuellen Verdeutlichung.

Funktion: Über eine Rechenvorschrift (Formel) wird jeder Zahl aus der Inputmenge eine Zahl in der Outputmenge zugeordnet. Eine Formel wird also mit Zahlen „gefüttert“, was ein bestimmtes Ergebnis ergibt.

Menge:

Funktion:

Formel:

Oft wird für den Funktionswert statt geschrieben. Es sind natürlich auch beliebig andere Buchstaben oder Kombinationen von Buchstaben möglich.

Beispiel

Geradengleichung

Wichtig! Alle Zahlen aus dem vorgegebenen Input müssen eine Zuordnung im Output haben. Man muss jedes aus dem Input in die Formel einsetzen. Es darf hier keine Lücke geben.

Alle Elemente aus der Menge (= Input) haben einen Pfeil (= Zuordnung) in die Menge (= Output). Dabei ist es unwichtig, ob auch alle Elemente im Output einen Pfeil haben. Im Extremfall könnte es auch nur ein -Element betreffen. Dann liegt eine Konstante vor,

Keine Funktion:

Die Zahl eins hat keinen Pfeil (= Zuordnung), weshalb keine Funktion vorliegt.

Hierbei ist es unerheblich, ob auch eins der y-Elemente keine Zuordnung erhalten hat (siehe Element ). Nur die Zuordnung in der Inputmenge ist entscheidend, ob eine Funktion vorliegt oder nicht. Alle Elemente in der Inputmenge müssen eine Zuordnung finden!

Injektivität (Eindeutigkeit)

Die Injektivität beschreibt eine Funktion mit einer eindeutigen Zuordnung. Das bedeutet, dass jedes Element der Outputmenge nur einen Pfeil erhalten darf. Wenn das nicht der Fall ist, kann man nicht eindeutig angeben, welches -Element zu dem betreffenden -Element geführt hat.

Eine Umkehrfunktion wird dadurch unmöglich.

Ein typisches Beispiel ist die Parabel.

Beispiel

Setze die Zahlen ein.

und

Beide -Elemente ergeben das -Element . Wenn du wissen willst, welches -Element dieser Zahl zugrunde liegt, stößt du auf zwei -Zahlen. Das ist nicht mehr eindeutig, also nicht injektiv.

Periodische Funktionen sind nicht injektiv (eindeutig).

Auch hier kannst du nicht eindeutig für ein bestimmtes angeben, welches zu ihm gehört. Es gibt nämlich ganz viele -Werte, die in Frage kämen. Die Funktion ist also nicht injektiv (eindeutig).

Surjektivität (Volloutput)

Bei der Surjektivität erhalten alle Elemente der Ouputmenge einen oder mehrere Pfeile. Der gesamte Output ist mit Zuordnungen abgedeckt.

Eine Eindeutigkeit bezüglich der -Elemente wird dabei nicht gefordert (siehe Elemente bzw. ).

Die Outputmenge dieser Funktion besteht aus allen Zahlen der Ordinate . Es liegt also Surjektivität vor. Der Funktionsgraph führt offensichtlich in den negativen Bereich (links). Auf der rechten Seite schnell der Graph in die positive Unendlichkeit .

Keine Surjektivität:

Die -Werte dieses Funktionsgraphen befinden sich in einem bestimmten negativen und positiven Bereich. Nur ein Teil der möglichen Outputmenge wird erreicht. Daher liegt keine Surjektivität vor.

Bijektivität (zweifache Eindeutigkeit)

Bei der Bijektivität haben alle Elemente der Inputmenge und alle Elemente der Outpunktmenge eine Zuordnung. Deshalb gibt es auch eine Umkehrfunktion.

Hier haben offensichtlich alle -Werte nur einen -Wert und umgekehrt. Die Eindeutigkeit besteht in der -Richtung und zurück in die-Richtung.

Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie injektiv (eindeutig) und surjektiv (Volloutput) ist. Damit hat sie auch eine Umkehrabbildung.