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Logarithmusfunktion

„Logarithmus ist zusammengesetzt aus Log, logos, logisch, d.h. eigentlich Wort, oder hier vielleicht Verhältnis, und aus Arithmos, Arithmetik, d.h. Zahl. Wir können also vielleicht sagen Verhältniszahl. Mit Lok (Lokomotive) und Log oder Logg (Schiffslaufmesser), Loggbuch, hat es nichts zu tun.

Die Logarithmen wurden Ende des 16. Jahrhunderts aus dem Studium der Zahlenreihen erfunden von Buergi, Mechaniker in Prag, und Napier, Gutsbesitzer in Edinburg. Aber erst die Briggschen Logarithmen (1624), die auf der Grundzahl 10 aufbauen, fanden allgemein Eingang. Sie heißen deshalb die gewöhnlichen oder gemeinen Logarithmen.” [Rod42a, 1. Band, Seite 190]

Definition:

Für und b>1 ist der Logarithmus zur Basis b diejenige Hochzahl, mit der man b potenzieren muss, um x zu erhalten. heißt Logarithmusfunktion zur Basis b.

Die Basis b des Logarithmus muss positiv sein.

Aus negativen Zahlen kann man keinen Logarithmus bilden.

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Der Graph der Logarithmusfunktion ist der an der Winkelhalbierenden gespiegelte Graph der Exponentialfunktion

Unterschiedliche Logarithmen (1 = lb, 2 = ln, 3 = log)

Die y-Werte des binären Logarithmus (lb) liegen oberhalb der x-Achse über den Werten des natürlichen Logarithmus (ln). Darunter sind die y-Werte des dekadischen Logarithmus (log) zu finden. Unterhalb der x-Achse verhält sich die Sachlage genau umgekehrt. Das gilt bei gleichen x-Ausgangswerten. Man kann sich das an der Reihenfolge der Buchstaben bei lb, ln und log merken.

Die Eigenschaften der Logarithmusfunktion

(1) Die Funktion ist für negative x-Werte nicht definiert. Der größtmögliche Definitionsbereich ist , also nur positiv.

Die Null als x-Wert ist nicht definiert, weil keine Zahl ergibt.

(2) x-Werte zwischen 0 und 1 haben negative Funktionswerte.

(3) Die Funktion strebt für gegen minus unendlich. Die y-Achse ist Asymptote.

(4) Alle Arten der Logarithmus-Funktion haben eine Nullstelle bei x = 1.

(5) Die Funktion ist im gesamten Verlauf monoton fallend. Es gibt keine Sprünge.

Der Logarithmus ist eine Funktion, die bei gegebener Basis b und Potenzwert y den Exponenten x als Ergebnis liefert. Allgemein ausgedrückt:

Sprich: „Logarithmus von y zur Basis a”

Das x ist also die Hochzahl. Man braucht den Logarithmus dann, wenn man die Gleichung nach dem Exponenten umstellen muss.

Beispiele

Der Logarithmus von 4 zur Basis 2 ist 2, weil .

Der Logarithmus von 216 zur Basis 6 ist 3, weil .

Der Logarithmus von 10000 zur Basis 10 ist 4, weil .

Spezielle Logarithmen

Es gibt ganz besondere Basiszahlen, die sehr oft gebraucht werden. Sie haben bestimmte Namen:

Zehnerlogarithmus (dekadischer Logarithmus):

Natürlicher Logarithmus (Logarithmus naturalis):

Die Basis e des natürlichen Logarithmus ist die eulersche Zahl e = 2,718281828459... Diese beiden Logarithmen findet ihr auf dem Taschenrechner. Alle anderen Logarithmen kann man mit diesen beiden errechnen.

Binärer Logarithmus (dyadischer Logarithmus):

oder andere Schreibweise (d = dyadisch)

Logarithmusfunktion

Umkehrfunktion von ist natürlicher Logarithmus ist definiert auf .

Logarithmen: Der Logarithmus einer Zahl z zur Basis a ist diejenige Hochzahl x, für die gilt: . Man schreibt: . Die Bestimmung des Logarithmus von einer Zahl nennt man Logarithmieren. Logarithmieren ist die Umkehrung des Exponierens, so wie das Wurzelziehen (=Radizieren) die Umkehrung des Potenzierens ist.

Beispiel 1

Ich potenziere die Basis 2 mit der Hochzahl 3 und erhalte das Ergebnis 8.. Dieser Vorgang wird rückgängig gemacht durch das Ziehen der dritten Wurzel. Ich erhalte die Basis 2 zurück.

Beispiel 2

Ich exponiere die 3 zur Basis 2 (d.h. ich „stelle die 3 heraus“ als Hochzahl oben an die 2) und erhalte als Ergebnis 8. Dieser Vorgang wird rückgängig gemacht durch Logarithmieren zur Basis 2. Ich erhalte die Hochzahl 3 zurück.

Da Umkehrfunktion von ist, gilt:

und

Es gilt:

Beweis

für

Zusammenhang von und

Logarithmen zu beliebigen Basen. Die Umkehrfunktion zur streng monoton wachsenden Funktion , a > 1 heißt Logarithmus zur Basis a.

und

Gleichsetzen (x = x) und ln auf beiden Seiten

Beispiel

Definition:

Logarithmus dualis

Zehner Logarithmus