• Startseite
• Inhalt
• Index

Lineare Funktionen

Eine Abbildung ist die Visualisierung einer Zuordnung zwischen verschiedenen Objekten. Dies wird in der Mathematik deutlich gemacht über das Koordinatensystem. Die Objekte sind hier Zahlen.

Ich spreche lieber von Funktionen als von Abbildungen, weil die Funktionen quantitativ gebraucht werden und Rechenvorschriften sind. Abbildungen (geometrische Gebilde) dienen nur der visuellen Verdeutlichung.

Funktion: Über eine Rechenvorschrift (Formel) wird jeder Zahl aus der Inputmenge eine Zahl in der Outputmenge zugeordnet. Eine Formel wird also mit Zahlen „gefüttert“, was ein bestimmtes Ergebnis ergibt.

Menge:

Funktion:

Formel:

Oft wird für den Funktionswert statt geschrieben. Es sind natürlich auch beliebig andere Buchstaben oder Kombinationen von Buchstaben möglich.

Beispiel

Geradengleichung

Wichtig! Alle Zahlen aus dem vorgegebenen Input müssen eine Zuordnung im Output haben. Man muss jedes aus dem Input in die Formel einsetzen. Es darf hier keine Lücke geben.

Alle Elemente aus der Menge (= Input) haben einen Pfeil (= Zuordnung) in die Menge (= Output). Dabei ist es unwichtig, ob auch alle Elemente im Output einen Pfeil haben. Im Extremfall könnte es auch nur ein -Element betreffen. Dann liegt eine Konstante vor,

Keine Funktion:

Die Zahl eins hat keinen Pfeil (= Zuordnung), weshalb keine Funktion vorliegt.

Hierbei ist es unerheblich, ob auch eins der y-Elemente keine Zuordnung erhalten hat (siehe Element ). Nur die Zuordnung in der Inputmenge ist entscheidend, ob eine Funktion vorliegt oder nicht. Alle Elemente in der Inputmenge müssen eine Zuordnung finden!

.

Hier haben offensichtlich alle -Werte nur einen -Wert und umgekehrt. Die Eindeutigkeit besteht in der -Richtung und zurück in die-Richtung.

Eine Funktion ist bijektiv, wenn sie injektiv (eindeutig) und surjektiv (Volloutput) ist. Damit hat sie auch eine Umkehrabbildung.

Lineare Funktionen von Vektorräumen

Es gibt auch Funktionen von Vektorräumen. Die Großbuchstaben und symbolisieren Vektorräume.

Menge:

Funktion:

Dabei müssen zwei Linearitätsbedingungen erfüllt werden:

1. Homogenität (Gleichartigkeit)

In Komponenten:

Eine gemeinsame Zahl (= Faktor) kann bei den Komponenten des Vektors als Vorfaktor rausgezogen werden.

Der Vorfaktor ist .

2. Additivität

In Komponenten:

Ein Vektor kann auch über zwei andere Vektoren dargestellt werden. Die Addition ihrer Komponenten entspricht dann der Größe der jeweiligen Komponenten dieses Vektors.

Der Vektor besteht aus der
Addition zweier Vektoren.

Lineare Funktion

„Die einfachste und zugleich für die Anwendungen wichtigste Funktion ist der zweigliedrige Ausdruck ersten Grades y = ax + b, in dem a und b vorgegebene konstante Zahlen sind. Wir werden sehen, daß das Bild dieser Funktion eine Gerade ist.“ [Smi82, S. 29]

Wenn man den Term b = 0 setzt, ergibt sich die Rumpfgleichung y = ax, die aus der unabhängigen Variablen x und der abhängigen Variablen y besteht. Beide Variablen stehen in einem proportionalen Verhältnis gegenüber. Wird x größer, tut das auch y. Wird x kleiner, bleibt dem armen y nichts Anderes übrig als auch kleiner zu werden. Wie stark der Zusammenhang ist, drückt der Koeffizient („Mitbewirker“) a aus. Er wird auch Proportionalitätsfaktor genannt.

In einem Koordinatensystem befindet sich die Konstante b der ersten Gleichung auf der Ordinate. Die Gerade schneidet die Ordinate in dem Punkt (0, b). Dieser Punkt kann irgendwo auf der Koordinate liegen, auch im negativen Bereich.

Gerade

Eine Gerade ist eine Linie, die gerade ist. Wenn man sie in ein Koordinatenkreuz zeichnet, kann gut angeben, wo sie verläuft. Dazu braucht ihr nur zwei Punkte, wie auf der Zeichnung, die Punkte P und Q.

Der Punkt P befindet sich bei (-2 | 1), wie ihr selbst bemerkt habt. Der andere Punkt Q liegt bei (4 | 4).

Habt ihr schon gesehen, wie die Gerade heißt? Sie heißt g, ein Kürzel für Gerade.

Ihr könnt jetzt beliebige Geraden ins Koordinatenkreuz zeichnen und die Punkte ablesen. Das macht Spaß.

Beispiel

Bestimme die Funktionsgleichung und die Nullstelle.

Lösung

Der Schnittpunkt der y-Achse ist -2, also ist das absolute Glied c=-2. Die Steigung errechnet sich aus dem Verhältnis der Senkrechten (3 Kästchen von +4 nach unten bis -2) und der Waagerechten (1 Kästchen nach rechts), also ist .

Die Funktionsgleichung ist demnach

Die Nullstelle ist bei y=0.