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Exponentialfunktion

Eine Exponentialfunktion hat etwas zu tun mit Exponenten und Wachstum. Bei dieser Funktion ist die unabhängige Variable der Exponent. Sie „klebt“ rechts oben an einer Basiszahl. Das führt dazu, dass schon kleine Änderungen der unabhängigen Variablen, nennen wir sie x, zu großen Änderungen bei der abhängigen Variablen, der unvermeidlichen y, führt.

Ein kleiner Input führt zu einem großen Output. Davon träumen die Kapitalisten, die gerne ihr Geld in riskanten Finanzanlagen einbringen und satte Profite erwarten. Solange dies auf einem Schneeballprinzip aufbaut und immer mehr geistig Unbedarfte von den lukrativen, aber windigen Anlagen angelockt werden, dann funktioniert das. Im Jahre 2007 wäre beinahe das Ende des Kapitalismus eingetreten, doch die breite Masse rettete dieses System mit ihren Steuern, inklusive einer zunehmenden Verarmung der Unterschicht. Einer musste das Desaster ja bezahlen.

Bei der Gleichung kann man nach drei Werten suchen:

1. Den Potenzwert c

2. Die Basis b

3. Den Exponenten a

Definition: Exponentialfunktion

Die Funktion f mit heißt Exponentialfunktion zur Basis b. Die Basis darf nur positiv sein und 1 nicht beinhalten.

Auch die Funktion (mit ) heißt Exponentialfunktion. Die Zahl a heißt Anfangswert der Funktion f und gibt an, wo der Graph der Funktion die y-Achse schneidet.

Eigenschaften:

(1) Der Graph der gebrochenen Exponentialfunktion geht aus dem Graphen durch Spiegelung an der y-Achse hervor. Der Nenner b darf nicht 0 sein.

(2) Der Graph der Funktion ist streng monoton steigend für b>1 und streng monoton fallend für 0<b<1, also für gebrochene Werte. Es gibt also keine Sprünge.

(3) Die x-Achse ist Asymptote (”Anschmiegende”) der Graphen von f und g.

(4) Der Wertebereich von f ist , also nur positiv, ohne die Null. Schrumpfung in den Minuswertebereich ist nicht möglich.

Rechenregeln

Nach der Anwendung der Potenzregel für Logarithmen ist die Sachlage klar. Der e-Term vernichtet den natürlichen Logarithmus im Exponenten. Übrig bleibt nur der Term .

Syntax

Eine einfache Exponentialfunktion

Die Gleichung besagt, dass die Basis ganz oft mit sich selbst multipliziert werden soll und zwar so oft, wie dies das x will.

  Beispiel