• Startseite
• Inhalt
• Index

Zinseszinsrechnung

Der Begriff Zinseszins beschreibt, wie der Zinssatz immer neu auf das neue Kapital, das aus dem alten Kapital und bisherigen Zinsen besteht, angewandt wird. Man berechnet somit die Zinsen der Zinsen.

Die Zinseszinsformel leitet sich aus einer mehrfachen Anwendung der Zinsformel her. Sei K₀ das Startkapital, i der Prozentsatz geteilt durch Hundert (i=p/100) und K_n der Kontostand nach n Jahren. Dann gilt:

Startjahr:

Das Startkapital wird angelegt.

Jahr 1:

Das neue Kapital im nächsten Jahr 1 besteht aus dem Startkapital und seinen Zinsen .

Jahr 2:

Das neue Kapital im Jahr 2 besteht aus dem angewachsenen Kapital und den neuen Zinsen . Wenn man die Variable durch die Gleichung in Jahr 1 ersetzt, erhält man die Aussage . Dies lässt sich verkürzt mit dem Exponent 2 schreiben.

Jahr 3:

Das neue Kapital im Jahr 3 besteht aus dem angewachsenen Kapital und den neuen Zinsen . Wenn man die Variable durch die Gleichung in Jahr 2 ersetzt, erhält man die Aussage . Dies lässt sich verkürzt mit dem Exponent 3 schreiben.

Man kann die Entwicklung des Kapitals verallgemeinern. In den Gleichungen der verschiedenen Jahre bleibt das Startkapital gleich. Nur der Exponent ändert sich. Er entspricht den jeweiligen Verzinsungsjahren, was ganz praktisch ist. Die allgemeine Zinseszinsformel lautet also:

Die Verzinsungsjahre haben den Namen n. Der Kontostand nach n Jahren lässt sich bequem mit dieser Formel ermitteln.

Der Aufzinsfaktor (1+i)ⁿ ist eine Potenz. Darum handelt es sich beim Zinseszins um exponentielles Wachstum, während in der einfachen Zinsrechnung das Kapital mit nur linear wächst.

In der Zinseszinsrechnung lassen sich die Zinsen täglich und monatlich kapitalisieren. Wenn man das Jahr in m gleiche Zeiträume unterteilt, wird das Kapital mit dem Faktor (1+i/m) aufgezinst. Der Buchstabe m ist die Abkürzung für Monat. Die Unterteilungen kann man immer kleiner und feiner machen, indem man m->∞ schickt. Der Grenzwert beträgt:

e=2,71828…

Diesen Grenzfall nennt man stetige Verzinsung.

Die Konvergenz gegen e kann man auch erkennen, wenn man die Entwicklung der halbjährlichen, vierteljährlichen, monatlichen und täglichen Verzinsung, also m=2, 4, 12, 365 betrachtet. Sei dazu K=1 und i=1: