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Definition der komplexen Zahlen

Komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen sind Elemente der Form mit .

Sie werden als Punkte der komplexen Ebene im rechtwinkligen Koordinatensystem dargestellt mit den Koordinaten (a, b).

a heißt Realteil (Re)

b heißt Imaginärteil (Im) von .

Die Menge der komplexen Zahlen wird mit bezeichnet.

Bemerkung:, sowohl als auch sind reell.

komplexe Zahlen

ist nicht in lösbar.

Wir führen eine imaginäre Zahl j ein, die nicht auf der reellen Achse liegt und für die gilt. Mit j erfüllt ebenfalls (-j) die Gleichung .

Zur Unterscheidung von der Stromstärke I, außerhalb der Elektrotechnik meist i statt j.

Wir lösen jetzt

für

Die komplexen Zahlen bilden zusammen mit den Rechenregeln für einen Körper dessen Elemente wie folgt definiert sind

(Re) Realteil

(Im) Imaginärteil

wird als Imaginäre Einheit bezeichnet.

Rechenregeln

Addition

Multiplikation

Division

Neutrales Element der Addition

Neutrales Element der Multiplikation

Komplex konjugierte Zahl

Die komplex konjugierte Zahl von heißt:

(Spiegelung an der reellen Achse)

Bei Matrizen mit Komplexen Einträgen

Betrag einer komplexen Zahl

also

Dreiecksungleichung