Der Mittelwertsatz für differenzierbare Funktionen

 

[image] Satz von Rolle

 

Ist [image] stetig auf [a, b] und differenzierbar in (a, b) und gilt [image] so existiert ein [image] mit [image].

 

[image]

 

[image]

 

es existiert [image]

 

 

[image] Satz 1. Mittelwertsatz der Differentialrechnung

 

[image]

 

Ist f stetig auf [a, b] und differenzierbar in (a, b), so gibt es ein [image] und [image].

 

Anstieg der Tangente = Anstieg der Sekante.

 

 

Folgerung: [image] mit gewissen [image] (Formel von Lagrange)

 

Verallgemeinerung des 1. Mittelwertsatzes: erfüllt g ebenfalls die Voraussetzungen des 1. Mittelwertsatzes und gilt [image] auf (a, b) so [image].

 

[image] 2. Mittelwertsatz

 

[image]

 

Ableitungen höherer Ordnung

 

[image] heißt 2. Ableitung von f. Voraussetzung ist es, dass [image] wiederum als Funktion eine Ableitung besitzt.

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image] Beispiel

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

[image]

 

 

Leibnitzsche Formel

 

[image]

 

Beweis über vollständige Induktion