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Theorem von Rolle

Es liegt eine Funktion innerhalb eines geschlossenen Intervalls vor. Außerdem ist sie differenzierbar in dem offenen Intervall , also ohne die Endpunkte und .

Setze diese Endpunkte a und in die Funktion ein und schaue, was passiert. Wenn der Output gleich ist, dann muss es innerhalb des Intervalls einen Extremwert (Berg oder Tal) mit geben. Hier liegt dann die Eigenschaft einer Parabel vor.

Bei dieser Parabel sind die Outputwerte und gleich. Darüber befindet sich ein Extremwert (Berg) bei . Hier ist die Steigung null.

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Ist auf stetig auf , differenzierbar auf , so gibt es eine Stelle mit

Verallgemeinerter Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Sind die Funktionen stetig auf , differenzierbar auf und ist , für , so gibt es eine Stelle mit