• Startseite
• Inhalt
• Index

Differenz von Mengen (Differenzmenge, Restmenge)

Differenz

Das ist die Menge aller Objekte, die nur in der Menge A enthalten sind ohne die Elemente von B. Sie haben keine Elemente der Menge B. Die Menge A ist um die Elemente der Menge B verringert.

Achtung! Bei der Differenzmenge ist keine Grundmenge vorhanden, s. u. „Komplement”. Es handelt sich vielmehr um Mengen, denen Elemente weggenommen, d.h. abgezogen (subtrahiert) werden, siehe das Minus-Zeichen.

oder

sprich: „A ohne B”

Symmetrische Differenz

Das ist die Menge aller Objekte, die in genau einer der Mengen A und B enthalten sind. Das ist die Vereinigung der Mengen A und B, allerdings ohne ihre gemeinsamen Elemente.

sprich: „symmetrische Differenz von A und B”

In dem Schaubild sieht die Menge der symmetrischen Differenz wie zwei Halbmöndchen aus. Ihr Symbol ist der griechische Buchstabe Delta, welcher für den Anfangsbuchstaben von Differenz steht.

Die Differenzmenge ist die Menge, die nach der Subtraktion der Elemente zweier Mengen übrig bleibt. Das ist genau wie bei der Subtraktion von Zahlen. Anders als dort werden bei der Mengentheorie bestimmte Elemente weggenommen.

Wenn zwei Mengen sich schneiden, gibt es die Schnittmenge und zwei andere Mengen, die neben dieser Schnittmenge liegen. Sie sehen bei den Venndiagrammen wie zwei Halbmonde aus. So kann man sich das gut vorstellen.

Differenzmenge (links) (Quelle: Mate2Code)

Formal:

oder

Sprich: Die Differenzmenge ist gleich der Menge aus allen Elementen x, die nur in der Menge A enthalten, aber nicht in der Menge B.

Das Mengensymbol ist der Backslash \ (sprich: ohne). Manchmal schreibt man auch das gewöhnliche Minuszeichen (-). Es hat den charmanten Vorteil, dass auch Unerfahrene ersehen, worum es bei dieser Mengenoperation geht. Um die Differenzmenge zu ermitteln, streicht man einfach aus der ersten Menge A alle Elemente, die zur Menge B gehören. Das ergibt dann die Differenzmenge.

Beispiel

Die Elemente der Menge B sollen aus der Menge A entfernt werden.

Jetzt die gemeinsamen Elemente 2 und 3 (die Schnittmenge) aus beiden Mengen streichen.

Das ergibt die Differenzmenge

In der Menge B ist noch ein Element, die 9, vorhanden. Bei der Differenzmengenbildung kann es also durchaus vorkommen, dass noch Elemente in der abziehenden Menge, hier die Menge B, übrig bleiben.

Die Differenzmenge ist von der Komplementmenge (s.u.) klar zu unterscheiden. Bei der Differenzmenge gibt es keine Grundmenge. Es gibt hier immer mindestens zwei Mengen, die geschnitten werden. Was dann nicht zur Schnittmenge einer gegebenen Menge gehört, zählt als Differenzmenge (Restmenge).

, was besser aussieht als die andere Schreibweise

Die Differenzmenge ist gleich der Menge A ohne die Durchschnittsmenge von A und B. Es bleibt ein „Halbmond“ von der Menge A übrig. Das könnt ihr problemlos an dem obigen Zahlenbeispiel nachvollziehen.

Das sieht dann aus wie eine Torte, der ein Stück fehlt.

Große Resttorte (Restmenge) (Bild: www.openclipart.org)