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Symmetrische Differenzmenge

Die symmetrische Differenzmenge ist eine zweifache Differenzmenge. Hierbei werden die beiden Restmengen betrachtet, die nach dem Schnitt zweier Mengen entstehen. Der Begriff „symmetrisch“ bedeutet „ebenmäßig“.

Der Fokus liegt auf den beiden „Halbmonden“ links und rechts neben der Schnittmenge. Im Venndiagramm könnt ihr das plastisch sehen.

Symmetrische Differenzmenge (außen) (Quelle: Mate2Code)

Die symmetrische Differenz ist gleich der Vereinigung der beiden Differenzmengen von A und B. Man kann’s auch anders ausdrücken. Von der Vereinigungsmenge A und B zieht man die Schnittmenge ab. Übrig bleibt die Differenzmenge.

Formal:

Die symmetrische Differenz besteht aus allen Elementen x, die entweder zur Menge A oder zur Menge B gehören. Daraus folgt, dass die symmetrische Differenzmenge keine Elemente der jeweiligen anderen Menge gemeinsam hat. Sie sind disjunkt („getrennt“) oder auch „teilerfremd“ genannt.

Das Symbol bedeutet ein „entweder – oder“. Das ist ein ausschließendes Oder.

Es ist deutlich zu unterscheiden vom normalen, einschließendem „oder“ V (aus lateinisch „vel“ = oder).

Die symmetrische Differenz ist eine spezielle Menge, eine Teilmenge, die durch „Aussonderung“ aus anderen Mengen entsteht, was unmittelbar über das Axiom des Aussonderungsschemas (Aus) abgeleitet werden kann.

Beispiel

M₁ = {1, 3, 7, 9}

M₂ = {1, 3, 4, 7, 8}

Vorgehensweise:

- Die beiden Mengen vereinigen

- Die Elemente nach der Größe sortieren

- Alle doppelten Elemente herausstreichen. Die doppelten Elemente entsprechen der Schnittmenge der beiden Mengen.

Übrig bleiben die Elemente {4, 8, 9} der symmetrischen Differenzmenge.

Eigenschaften der symmetrischen Differenz

Für die Mengen A, B und C gilt:

1) Assoziativität

2) Kommutativität

3) Vollmenge und Leermenge

und

Der Beweis für 3a) ergibt sich aus der Definition. Die Vereinigung der Menge A mit der leeren Menge ergibt die Menge A. Davon soll der Durchschnitt von A und abgezogen werden, was dann A ergibt.

3b) ist sofort einsichtig, da bei der symmetrischen Differenz eine Menge nicht die gleichen Elemente mit einer anderen Menge gemeinsam haben darf. Es gibt hier keine andere Menge, deshalb kann man auch keine symmetrische Differenz bilden.