Dreiecksungleichung

 

[image] Dreiecksungleichung

Für alle [image] gilt [image]

 

I Beweis

Hinschreiben, was die Betragsstriche bedeuten, nämlich [image] irgendeine Variable als Fallunterscheidungen schreiben.


Fallunterscheidung 1

Die positive Varianten [image] und [image] gelten.

 

Die Variablen x und y addieren.


[image] ü

 

Fallunterscheidung 2

Die negativen Varianten von x und y gelten ebenfalls.

 

[image] und [image]

 

Die Variablen x und y ebenfalls addieren.

 

[image]

 

Ausklammern von -1.

 

[image] ü

 

Das Ergebnis der ersten Fallunterscheidung [image] und der zweiten Fallunterscheidung [image] können in Betragsstriche gesetzt werden, was dann die zu beweisende Gleichung [image] ergibt. ∎