Rechnen mit dem absoluten Betrag

Absoluter Betrag

Es sei .

Beispiel

Wenn :

Aufgabe

Bestimmte alle , für die gilt

Lösung

Wendet die Definition der Fallunterscheidung an und rechnet wie gewohnt algebraisch aus.

Insgesamt müsst ihr 4 Rechnungen machen.

Fall 1:

Ungleichung laut Definition der Fallunterscheidung ausrechnen für :

Für

erhält man .

Nun die Betragsstriche weglassen und ausrechnen

Zwischenergebnis

Für alle x, für die gilt, erfüllen die Ungleichung.

Fall 2:

Ungleichung laut Definition der Fallunterscheidung ausrechnen für :

Für erhaltet ihr, wenn ihr die Betragsstriche weglasst:

und dann noch mit (-1) multipliziert:

Ihr müsst hier also zwei Mal rechnen, einmal mit dem positiven und einmal mit dem negativen Vorzeichen.

Zwischenergebnis

Alle x, für die gilt, erfüllen die Ungleichung.

Endergebnis

Die beiden Zwischenergebnisse zusammenzufassen ergibt das Intervall (-1, 4) als Lösung der Ungleichung.

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