Inverse Dreiecksungleichung

Für alle gilt

I Beweis

Die Dreiecksungleichung habe ich etwas entfremdet, damit ihr sofort seht, was sie aussagt. Der Summand x und der Summand y werden nach dem Ungleichheitszeichen in Betragsstriche gesetzt. Als Bildsymbole sieht das so aus:

Der Smiley symbolisiert die x-Variable. Das Giftzeichen steht für die y-Variable.

Fallunterscheidung 1

Diesen Betragsmechanismus können wir für unsere Zwecke benutzen, indem wir ergebnisneutral vorgehen. Wir addieren zur Variablen x die Differenz y-y. Dadurch ändert sich der Wert von x nicht. Das schreiben wir so:

oder umgestellt

Die beiden ersten Summanden x + y betrachten wir als Einheit und setzen sie in Betragsstriche.

Gemäß der Dreiecksungleichung kann diese Summe rechts neben das Ungleichheitszeichen gesetzt werden.

Nun stehen dort zwei Variablen in Betragsstrichen, vgl. die Dreiecksungleichung

Anstelle der drei Punkte schreiben wir den obigen Term . Das führt zu der Ungleichung:

Den mittleren Term streichen wir, da wir ihn nicht mehr brauchen.

Nach der Umstellung des y-Terms ergibt sich die Äquivalenz.

Die Äquivalenz gilt erst mal nur für das positive Vorzeichen.

Fallunterscheidung 2

Jetzt geht’s etwas schneller voran. Ergebnisneutral mit y agieren, das Smiley (die Summe x und y) in Betragsstriche hinter das Ungleichheitszeichen schreiben. Den Term –x in Betragsstriche setzen und ebenfalls hinter das Ungleichheitszeichen bringen.

Den mittleren Term streichen und x umstellen.

Vorne ausklammern von -1 dreht die Summanden um.

Fazit: Die beiden Fallunterscheidungen führen zum Ergebnis mit den beiden möglichen Vorzeichen.

Positives Vorzeichen

Negatives Vorzeichen

Nach dem Setzen der Betragsstriche (vorne) ist die inverse Dreiecksungleichung

bewiesen. ∎

reelle Zahlen

ist die Menge der positiven reellen Zahlen.

Reelle Zahlen bestehen aus rationalen und irrationalen Zahlen.

Inverse Dreiecksungleichung

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