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Ersetzungsschema (Ers)

Ersetzungsaxiom (Definition)

Ist eine Formel, die einer Menge eine neue Menge zuordnet, und ist eine Menge, so ist auch eine Menge.

Ersetzungsaxiom, Ersetzungsschema (Ers)

Ist eine Formel, die einer Menge eine neue Menge zuordnet, und ist eine Menge, so ist auch eine Menge.

Sei f eine mathematische Formel und A eine Menge. Dann gibt es eine Menge B, die f(x) für alle x enthält.

Zwischen einer Menge A und einer Menge B gibt es eine beliebige funktionale Eigenschaft f(x, y) zwischen den Elementen und den Elementen aus der Menge B. Das hört sich schwierig an, ist es aber nicht. Über eine bestimmte mathematische Funktion wird eine neue Menge B gebildet. Dies wird symbolisiert durch f(x, y). Ganz banal ausgedrückt: Man hat einen Input x und einen Output y (wie wir das aus der Schule kennen).

Oder in der Sprache des Fußballers, tritt man gegen den Ball, kann er ins Tor rollen. Das Treten des Balls in eine bestimmte Richtung ist eine „funktionale Eigenschaft" des Fußballers, der sich über diesen Begriff arg wundern würde, wenn er ihn hörte.

Das Kürzel f(x, y) soll nur eine beliebige mathematische Funktion symbolisieren, mehr nicht. Häufig wird die Funktion mit dem griechischen Buchstaben (phi) geschrieben. Das ist die Abkürzung für Formel oder Funktion. Gewöhnt euch an die fremdartige Darstellung. Denkt immer an eine Zuordnung von Elementen zwischen zwei (oder mehr) Mengen.

Ist eine mathematische Formel, die einer Menge A eine neue Menge B zuordnet, so ist auch eine Menge. Die Menge besteht aus den Elementen von A und bestimmten Elementen aus B, die über eine Funktion gebildet werden. Wichtig bei einer Funktion ist, dass alle Elemente der Ausgangsmenge A von der Funktion abgedeckt werden. Es darf kein einziges Element x übergangen werden. Jedoch brauchen nicht alle Elemente aus der Menge B von der Funktion „bedacht“ werden. Es gibt auch Funktionen, wo keine Zuordnung von Elementen zwischen A und B möglich sind, wie bei der berühmten Division durch 0.

Könnt ihr diese Formel deuten?

Diese etwas kryptische Darstellung ist nicht aus einer merkwürdigen Laune von Mathematikern geboren, sondern lässt sich bei Beweisen gut anwenden.

Erläuterung

Eine Menge B₀ kann aus mittels einer Funktion gebildet werden. Eine bestimmte mathematische Funktion wird auf die Menge A angewandt, daher der Ausdruck . In den „normalen“ mathematischen Formel sieht das dann so aus: y = f(x). Der Ausdruck mit der Mengenangabe A() zeigt deutlich, dass innerhalb der Menge A die „Musik“ spielt. Das ganze Orchester muss spielen. Keiner kann sich „ausklinken“:

Der Existenzquantor weist darauf hin, dass es zumindest eine Menge A gibt, auf die eine Funktion angewandt wird. Das führt dann zu dem „Malheur“, dass bestimmte Elemente aus B durch die „Liebespfeile“ (Zuordnungen) von A „schwanger“ werden. Romantische Musik hat schon so manche Frau schwach gemacht.

Beispiele

Keine Funktion! Das Ersetzungsschema trifft nicht zu.

Ausgangsmenge A   Zielmenge B

Hier liegt keine Funktion vor, denn

1. nicht alle Elemente von A haben eine Zuordnung

2. die Zuordnung des Elements B ist nicht eindeutig. Bildlich gesprochen, es darf nur ein Pfeil von jedem einzelnen Element aus A in die Menge B „abgeschossen“ werden.

Eine echte Funktionszuordnung!

Bei einer Funktion ist es durchaus möglich, dass nicht alle Elemente der Zielmenge betroffen sind. Mehrere „Treffer“ auf gleiche Elemente in B sind möglich.

Dieses Axiom ist außerordentlich wichtig, deshalb noch eine andere Darstellung, an der ihr euch üben könnt.

Es gibt eine Menge B. Und für diese Menge B gilt, dass alle ihre Elemente y über eine Funktion φ gebildet werden. Achtet auf die Quantoren. Sie behandeln die Menge B und ihre Elemente y. Wenn durch die Funktion eine andere Menge als B gebildet werden sollte, dann trifft das Ersetzungsschema nicht zu. Seitensprünge sind nicht erlaubt, deshalb .

Vor dem Äquivalenzzeichen wird gesagt, dass die Elemente y aus der Menge B stammen, dann folgt eine Aussage, dass es eine Zuordnung zwischen den Elementen x aus A und y gibt.

Die mathematischen Eigenschaften werden häufig als mathematische Formel beschrieben, also irgendetwas mit einem x als unabhängiger Variable und einem y als der abhängigen Variablen. Diese beiden Variablen gehören zu den entsprechenden Mengen X und Y. Die mathematischen Formeln können ja mit ganz unterschiedlichen Werten x bestückt werden und ergeben dann unterschiedliche Werte y, die man als Menge Y charakterisieren kann.

Die x-Werte treten in den allermeisten Fällen nicht alleine auf. Sie haben bestimmte Koeffizienten ("Mitbewirker") oder Parameter ("Beimesser").

Macht euch das klar an der super einfachen mathematischen Formel .

Das a ist der Koeffizient oder Parameter für x. Wie gewohnt kürze ich den Namen Parameter mit p ab.

Wie man den Sachverhalt einer mathematischen Gleichung besonders kompliziert darstellen kann, zeige ich nun. Das ist keine Spielerei, sondern soll den Geist schulen und klarmachen, was überhaupt in einer beliebigen Gleichung steckt. Von der Schule her seid ihr gewöhnt, irgendwelche Lösungen für eine Gleichung zu finden. Das braucht ihr hier nicht. Vielmehr kommt es darauf an, sich klar zu machen, was es so alles in einer Gleichung zu entdecken gibt.

Die Quantoren sind bekannt. Die Variablen p₁ bis p_n sind die Abkürzungen für Prädikate, also Aussagen. Man könnte auch sagen Befehle, so und so zu rechnen.

Die mathematische Formel erhält den griechischen Namen (phi). Die Aussprache des griechischen Buchstaben soll an den ersten Buchstaben des Begriffs Formel anklingen.

Die Prädikate tauchen hinter der Formel auf. Sie sind nicht allein, sondern agieren mit den Elementen z der Menge X. Die Elemente z kann man sich als Zahlen auf der x-Achse im Koordinatensystem vorstellen.

In der allgemeinen Formel sind enthalten die unabhängige Variable z und die Prädikate p.

Die Elemente z sind enthalten in der Menge X. Wenn man die Formel auf die Elemente z in der Menge X anwendet, führt das zu einer neuen Menge Y, die auch die Elemente z enthält und zwar als Paare (x, z).

Für die Mengenbildung über Funktionen ist das Ersetzungsschema geschaffen worden.