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Produktmenge (Kartesisches Produkt)

Die Produktmenge ist etwas Besonderes. Hier geht es um eine komplexe Operation mit Mengen, deren Elemente nach bestimmten Vorschriften zu Paaren zusammengefasst werden. Aus der Menge A und Menge B wird eine dritte Menge gebildet, die aus lauter geordneten Paaren von Elementen (a, b) besteht. Die neue Menge, die Produktmenge, enthält dann ganz viele geordnete Paare, die mit einer runden Klammer umgeben sind.

Den Namen Produktmenge sollte man wörtlich nehmen. Hier werden wie beim kleinen Einmaleins aus zwei Zahlen eine neue Zahl (hier Elementenpaar) gebildet.

Das kleine Einmaleins

Die Zahlen links (blau) und oben (blau) werden miteinander multipliziert und ergeben das jeweilige Produkt in ihren Schnittpunkten.

Bei der Produktmenge ist das Prinzip gleich. Hier haben wir ein Tableau, wo links und oben die Elemente der Menge A und B aufgetragen sind. Alle Elemente der beiden Mengen werden miteinander systematisch verknüpft. Das ergibt jeweils ein geordnetes Elementenpaar. Vorne steht das Element der Menge A und daneben, getrennt durch ein Komma, das dazugehörige Element aus der Menge B. Die Reihenfolge der Elemente innerhalb der runden Klammer ist nicht mehr unwichtig.

Das geordnete Paar (a, b) ist ungleich dem geordneten Paar (b, a), weil verschiedene Koordinaten angesprochen werden. Das vordere Element bezieht sich auf die x-Achse (Abszisse). Das hintere Element bezieht sich auf die y-Achse (Ordinate). Unter diesem Hintergrund spricht man bei der Produktmenge auch vom kartesischen Produkt. Der Name geht auf den französischen Mathematiker René Descartes zurück, der das rechtwinklige Koordinatensystem entwickelt hatte. Das ist der Herr mit den scharfen Schlafzimmeraugen und der markanten Spürnase.

René Descartes (1596 – 1650) (Quelle: Dedden)

Das geordnete Paar (a, b) entsteht aus dem „Produkt“ der beiden Mengen A und B, ähnlich wie beim kleinen Einmaleins oben. Da es sich hier um beliebige Elemente handelt und nicht um reine Zahlen, muss man die Verknüpfung als geordnetes Elementenpaar schreiben.

Wenn man wüsste, um welche Zahlen es sich bei den Elementen handelte, könnte man auch das Produkt als Zahlenwert schreiben, aber das würde nicht das Wesen der Produktmenge ausdrücken. Hier geht es um Verknüpfungen aller Elemente aus zwei Mengen miteinander zu geordneten Paaren. Da geht man ganz systematisch vor.

Produktmenge (Quelle: Quartl)

Ich habe mal alle Elemente der beiden Mengen A und B miteinander systematisch kombiniert, nicht durcheinander, sondern zeilenweise von links nach rechts.

Fangt mit den Elementen der Menge A an. Die schreibt ihr immer vorne als erste Komponente der einzelnen Punkte (Paare). Die Elemente der zweiten Menge B schreibt ihr dann rechts neben das Komma hin. Sie bilden die Spaltenelemente in den Punkten, z .B. (x, 1), (x, 2), (x, 3).

Das ergibt die Produktmenge:

(sprich: A kreuz B ist die Menge aller geordneten Paare aus A und B)

Vorne in der Paarklammer sind alle Elemente der Menge A wieder zu finden. Dahinter stehen alle Elemente der Menge B. Diese Erkenntnis sollte man im Hinterkopf behalten.

Gut merken:

Die Produktmenge von A und B ist nicht gleich der Produktmenge von B und A.

Formal:

Das Kreuzprodukt zweier Mengen ist die Menge aller geordneten Paarelemente a und b, die jeweils zu ihrer Menge A und B gehören.

Produktmenge

Diese Produktmenge besteht aus den Paaren

[Schä07, S. 10]

Diese Definition gilt für zwei Mengen. Sie lässt sich erweitern auf beliebig viele Mengen. Dann spricht man von einer verallgemeinerten Produktbildung für n Mengen (n ist größer oder gleich 2).

Das Malzeichen wird für ganz viele Mengen A angewandt. In der Tat ist das verwandt mit einer mehrfachen Multiplikation. Die geordneten Paare sind bei dieser Schreibweise nicht mehr so intuitiv erkennbar, doch handelt es sich auch um eine fortwährende Zuordnung von Elementen aus immer mehr Mengen zu einer neuen Menge, was wir nicht mehr optisch nachvollziehen können, jedoch rechnerisch gut im Griff haben.

Die Elemente des Kreuz-Produkts von n Mengen heißen (n)-Tupel („Koordinaten-Zuordnung“, „Dimension“).

Spezielle Bezeichnungen für Tupel sind:

n = 2: Paare sind zweidimensional, z. B. (1, 2) oder (3, 1) oder (4, 5) sind drei verschiedene 2-Tupel ganzer Zahlen.

n = 3: Tripel sind dreidimensional, z. B. ist ein 3-Tupel aus Mengen. Entscheidend für die Bezeichnung des Tupels ist hier die Anzahl der Mengen innerhalb der runden Klammern.

n = 4: Quadrupel sind vierdimensional, z. B. ist ein 4-Tupel trigonometrischer Funktionen. Auch hier entscheidet die Anzahl der Mengen innerhalb der runden Klammern über die Bezeichnung des Tupels.

N = 5: Quintupel ist fünfdimensional, z. B. ist ein 5-Tupel aus Buchstaben.