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Fakultät

Die Fakultät ist eine Einrichtung in der Universität. In der Mathematik hingegen ist es eine Rechenvorschrift, bei der eine natürliche Zahl jeweils mit einer anderen, um 1 höheren natürlichen Zahl multipliziert wird. Das macht man sooft wie die Zahl vor dem Ausrufezeichen das angibt.

Beispiel

n = 5

Hier werden 5 Faktoren miteinander multipliziert mit der Besonderheit, dass sie jeweils um 1 größer sind als ihr Vorgänger.

Mit Hilfe des Produktzeichens kann man die Fakultät bequem angeben.

Die Fakultät beginnt mit dem Laufindex i = 1. Wenn ihr euch vorstellt, dass der Laufindex immer größer wird, dann wird auch das i hinter dem Produktzeichen jeweils größer. Das geht im Gleichschritt.

Ich zeige euch, was es mit dem Ausrufezeichen auf sich hat. Ihr wisst, dass das Produkt abgekürzt lautet. Man nimmt also den Faktor, der ganz am Schluss des Produkts steht und setzt dahinter ein Ausrufezeichen. Die anderen Faktoren verschwinden dadurch. Der Schlussfaktor ist hier . Er erhält ein Ausrufezeichen. Wenn man dahinter wieder einen Faktor setzt, dann ist dieser Faktor der Schlussfaktor, der dann das Ausrufezeichen trägt.

Durch das Ausrufezeichen verschwinden alle vorderen Faktoren bis auf das n.

Man kann das Ausrufezeichen ohne Bedenken nach hinten verlegen, wenn man einen weiteren Faktor an das Produkt anhängt. Er muss nur unmittelbar folgen.

Beispiel

Errechnet die Fakultät des Produkts .

Lösung

Der vordere Faktor (n-1)! entspricht der fortlaufenden Multiplikation

Der Faktor (n-1) ist der Vorgängerfaktor von n, den wir als Faktor anhängen können.

Verkürzt dargestellt:

Das Ausrufezeichen ersetzt die vorderen Faktoren von 1 bis (n-1).

Fakultät von 0

Die Fakultät von 0 ist definitionsgemäß 0. Würde sie auch 0, dann könnte man mit dieser Rechenvorschrift nichts anfangen.

0! := 1

Eine solche Fakultät kann ruhig im Nenner stehen. Sie ist nichts weiter als die Zahl 1.

Nicht verwirren lassen, wenn irgendwo die 0! erscheint. Sie symbolisiert ja die Zahl 1.

Pascalsches Dreieck

Den Koeffizienten findet man dabei in der ( n + 1)-ten Zeile, an der (k + 1)-ten Stelle (da es keine »nullte Zeile/Stelle« gibt)

Das gleiche Dreieck dargestellt in den -Binomialsymbolen

Binomialkoeffizient (Definition)

Der Binomialkoeffizient ist definiert als:

(n ist eine natürliche Zahl, k ist eine ganze Zahl.)

Beispiel

Die Spitze des Pascalschen Dreiecks

Beispiel

k ist negativ.

Beispiel

k ist größer als n.

Beispiel

Jeder Binomialkoeffizient kann aufgefasst werden als Summe aus den beiden darüber befindlichen Binomialkoeffizienten.

Symmetrie der Binomialkoeffizienten

Ganzzahlige Binomialkoeffizienten sind symmetrisch, wenn alle n und k nichtnegativ sind.

Beispiel

Die Symmetrie des Binoms kann ich anhand des folgenden Beispiels demonstrieren. Dass es für alle ganzzahligen n und k gilt habe ich oben bewiesen.

5 über 3 ergibt also das Gleiche wie 5 über 2. Rechnen wir das mal aus.

Jetzt kommt die Differenz n – k, also 5 – 3 dran:

Wie zu erwarten war, ergibt sich das Gleiche.

Binomialkoeffizient – Erweiterung für reelle Zahlen

Der Binomialkoeffizient ist für reelle α und natürliche k definiert. Oben steht also eine reelle Zahl, darunter steht eine natürliche Zahl.

Binomischer Lehrsatz (Proposition)

Für alle reellen a, b und n in gilt. Die Exponenten sind natürliche Zahlen.

Beispiel

Berechne den Binomialkoeffizient .

Lösung

bedeutet übersetzt in Fakultätsschreibweise

k=1 einsetzen ergibt

Die Fakultät n! kann man schreiben als (n-1)!n, also als Vorgängerfakultät (n-1)! mal dem Nachfolgerfaktor n.

Fakultät und Binomialkoeffizient

Wir schreiben für die Zahl n dessen Fakultät mit Wir definieren

und

Der Binomialkoeffizient

lies über , ist definiert für alle

1) Ergibt im gesamten Definitionsbereich natürliche Zahlen.

2)

3)

für

4)

5)

6) für

7)

Rechenregeln für Binomialkoeffizienten

Entwicklung des Pascalschen Dreiecks

Binomialentwicklung