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Fläche des Kreissegments

Das Kreissegment  ist ein Teil eines Kreissektors (Kreisabschnitt). Das Kreissegment wird von der Sehne und dem zugehörigen Kreisbogen zwischen den Punkten und begrenzt. Es liegt wie eine Pobacke oberhalb der Sehne.

Die Berechnung des Kreissegments ist aufwändig. Sie ist jedoch typisch für viele Aufgaben von Mathematikern und Physikern, die eine Formel in die andere einsetzen müssen, um zum Ergebnis zu gelangen.

Die Fläche des Kreissegments ist eine Differenzfläche aus der Fläche des Kreissektors (Kreisausschnitts) und der Fläche des Dreiecks unterhalb der Sehne.

A) Formel für den Kreissektor:

B) Formel für das Dreieck:

In der Zeichnung beträgt die Länge der Grundseite (Hälfte der Sehne) Das Dreieck ist gleichschenklig, weil zwei Seiten aus dem Radius des Kreises bestehen.

Die Höhe halbiert also die Sehne . Sie teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Seine Katheten sind die Höhe und die halbe Sehne. Die Hypotenuse ist der Radius . Aus diesen Angaben kann man die Höhe errechnen.

Variablen einsetzen.

Wurzel ziehen.

Die Grundseite und die Höhe in die Formel für die Dreieckfläche einsetzen. Berücksichtige, dass zwei Dreiecke mit gleicher Fläche vorhanden sind.

Zusammenfassen der Vorfaktoren.

Die Fläche des Dreiecks beträgt:

C) Formel für das Kreissegment:

Die Formel ergibt sich aus der Differenzfläche.

Monsterformel bilden.

Beispiel

Gegeben ist der Radius und die Länge der Sehne und der Mittelpunktwinkel . Berechne die Fläche des Kreissegments.

Zahlen einsetzen.

Ergebnis:

Da die Werte für die Sehne und den Radius nur auf eine Stelle nach dem Komma genau angegeben sind, ist es sinnvoll, das Ergebnis auf höchstens zwei Stellen nach dem Komma zu runden.