• Startseite
• Inhalt
• Index

Geschachteltes Vektorprodukt (mit drei Vektoren)

Das Kreuzprodukt von drei Vektoren kann stark vereinfacht werden. Es kann durch die Differenz zweiter Skalarprodukte ersetzt werden. Die Regel heißt BAC-CAB. Das ist eine Abkürzung für die benutzten Vektoren, in welcher Reichenfolge ihre Skalarprodukte berechnet und subtrahiert werden.

Die Vektornamen entsprechen den Großbuchstaben.

Formel:

Beispiel

Benutze die Formel:

Gegeben sind:

Erster Term (Skalarprodukte):

Zweiter Term (Skalarprodukte):

Berechne die Differenz.

Ergebnis des Kreuzprodukts:

Geschachteltes Vektorprodukt

Das Kreuzprodukt von drei Vektoren kann stark vereinfacht werden. Es kann durch die Differenz zweiter Skalarprodukte ersetzt werden. Die Regel heißt BAC-CAB. Das ist eine Abkürzung für die benutzten Vektoren, in welcher Reichenfolge ihre Skalarprodukte berechnet und subtrahiert werden.

Dieser Ausdruck kann mit dem Permutationssymbol umschrieben werden.

Die Komponente erhält den Index . Die beiden beim Kreuzprodukt werden durch das Epsilon ersetzt, die den gemeinsamen Index haben. Dieser Index ist für die weitere Berechnung nicht von Interesse. Er entfällt.

Die Variablen erhalten fortlaufende Indizes, beginnend mit .

Ein doppeltes Epsilon wird berechnet über die Differenz zweier Kronecker-Deltas. Beim ersten Delta werden die vorderen Indizes gebraucht. Beim zweiten Delta werden die hinteren Indizes gebraucht.

Ergebnis für den ersten Term in der Klammer:

Weiter geht es mit dem zweiten Term in der Klammer:

Beim ersten Delta werden die äußeren Indizes gebraucht. Beim zweiten Delta werden die inneren Indizes gebraucht.

Nach der Ermittlung der Deltadifferenz werden die Variablen , und damit multipliziert.

Multipliziere aus:

Wende die Regeln bei den Kronecker-Deltas an.

Erstes Delta:

Gleiche Indizes verschwinden, ebenso das Delta. Übrig bleibt mit dem Index .

Setze beim ersten Delta ein.

Ein weiteres Delta kann umgewandelt werden.

Setze ein.

Ordne nach dem Index .

Zweites Delta:

Hier geht es darum, die Deltas loszuwerden. Die Variablen und sind involviert.

Beginne mit .

Setze ein.

Ein weiteres Delta kann umgewandelt werden.

Setze ein:

Ordne nach dem Index .

Gesamtergebnis mit dem ersten und zweiten Delta:

Daraus folgt:

Das Kreuzprodukt lässt sich als eine Differenz von Skalarprodukten darstellen.