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Gram-Schmidt-Verfahren

Mit dem Gram-Schmidt-Verfahren werden zu beliebigen Vektoren die dazugehörigen orthonormalen Basisvektoren ermittelt.

Das sind die gegebenen Vektoren und .

Fälle das Lot von Vektor auf Vektor.

Normalisiere den Vektor. Er soll die Grundlage für den Einheitsvektor bilden.

Länge:

Einheitsvektor:

Jetzt finde zu diesem Einheitsvektor den zweiten Einheitsvektor . Dazu brauchst die Orthogonalkomponente . Dieser Vektor bildet die Grundlage für den Einheitsvektor , der ja senkrecht auf seinem Gegenspieler steht.

Die Orthogonalkomponente braucht nur parallel bis an den Fuß der beiden Vektoren verschoben werden. Sie ergibt dann den zweiten Einheitsvektor.

Sie ist die Differenz aus dem Vektor und der Parallelkomponente .

Setze für die Parallelkomponente die entsprechende Formel ein.

Berechne das Skalarprodukt:

Addiere:

Multipliziere die beiden Koeffizienten:

Multipliziere den einen Koeffizienten mit dem Vektor:

Ergebnis der Multiplikation als Bruch:

Bringe die Terme auf den Hauptnenner :

Errechne den zweiten Einheitsvektor aus der Orthogonalkomponente:

Länge der Orthogonalkomponente:

Formel für den Einheitsvektor:

Dieser Einheitsvektor steht senkrecht auf dem Vektor bzw. dem ersten Einheitsvektor. Er ragt in den zweiten Quadranten hinein und hat die Länge eins. Rundungsfehler sind nicht vermeidbar.