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Orthonormalbasis

Die Basis eines euklidischen Vektorraums ist orthonormal. Das bedeutet, dass die Basisvektoren senkreckt aufeinander stehen und die Länge eins (= normiert) haben.

Orthogonal:

Normiert:

Die Basisvektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.

Diese Erkenntnis führt zu einem neuen Symbol (Kronecker-Delta) mit den beiden Indizes und . Sie verweisen auf die Achsen eines kartesischen Koordinatensystems, die ja senkrecht aufeinander stehen.

Die Basisvektoren liegen auf diesen Achsen. Dabei entspricht der -Achse der Basisvektor . Auf der -Achse liegt der Basisvektor und auf der -Achse befindet sich der Basisvektor .

Alle Basisvektoren haben die Länge eins. Wenn man sie miteinander multipliziert ergibt das immer null.

Der Index i ist verschieden vom Index j, daher stehen die betreffenden Einheitsvektoren senkrecht aufeinander.

Hingegen, wenn die Indizes gleich sind , liegt eine Linearkombination vor und dann hat das Skalarprodukt den Wert eins.

oder

Nur verschiedene Basisvektoren sind „echte“ orthogonale Basisvektoren und für Rechnungen brauchbar.

Wenn du also das Kronecker-Delta mit dem Wert null siehst, weißt du, dass „echte“ orthogonale Basisvektoren vorliegen.

Die beiden Einheitsvektoren stehen senkrecht aufeinander und haben die Länge eins. Ihre Indizes sind verschieden.