Orthogonalität und Vektorlänge (Norm)

Man kann in einem euklidischen Vektorraum feststellen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, indem man ihre Längen bestimmt.

Es gilt

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn die Länge ihrer Summe gleich der Länge ihrer Differenz ist.

Beispiel

Die Summe der Vektoren und ergibt die Diagonale . Ebenso ergibt die Differenz der beiden Vektoren die andere Diagonale .

[image]

Wenn beide Diagonalen gleich lang sind, liegt ein Rechteck mit vier rechten Winkeln vor.

Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn seine Diagonalen gleich lang sind.

Beweis

Es soll gelten:

Die Vektorenlänge wird über das Skalarprodukt der beiden Terme mit sich selbst und anschließender Radizierung ausgerechnet.

Das Wurzelzeichen durch Quadrierung entfernen.

Die Binome ausmultiplizieren.

Ausrechnen. Gleiche Terme entfallen.

Weiter ausrechnen.

Wenn das Skalarprodukt null ergibt, stehen die Vektoren senkrecht aufeinander.

Übergeordnet