• Startseite
• Inhalt
• Index

Grundrechenarten

Grundrechenarten

Mengen ergeben einen Sinn, wenn man mit ihnen arbeitet, in der Mathematik Operationen machen genannt. Das sind die schon aus der Grundschule bekannten Operationen der Grundrechenarten, die man mit +, - , * und / wunderbar miteinander kombinieren kann. Die Schüler nehmen sie als gegeben hin und glauben ihrem Mathelehrer.

Der Begriff Addition stammt aus dem Lateinischen, addere „hinzufügen“. Im Klartext bedeutet das, man fügt eine Zahl einer anderen hinzu, indem man zwischen die Zahlen ein Plus-Zeichen (+) schreibt. Statt „plus“ sagt man auch „und“. Das Wort plus bedeutet auf Lateinisch „mehr“

Das Plus-Zeichen wurde erst 1489 von Johannes Widmann, einem deutschen Mathematiker eingeführt. Er schrieb das zweitälteste Rechenbuch in Deutschland, aus dem sich später auch der berühmte Rechenmeister Adam Ries(e) bediente.

Das Wort Summand besteht aus dem Teil Summe und -and („zum“) und bedeutet etwa „zum Summieren“. In dem Begriff versteckt sich eine Aufforderung, etwas zu tun, nämlich eine Summe zu bilden.

Addition => erster Summand + zweiter Summand = Summe

Man kann beliebig viele Summanden addieren, eigentlich unendlich viele, wenn man genügend Lebenszeit hätte.

Das Wort Summe wurde von lateinisch summa „das Oberste“ entlehnt, weil die Römer die Summe in der obersten Zeile, also über den Summanden, hinschrieben. Wir machen es heute umgekehrt und schreiben die Summe „unterm Strich“. So ändern sich die Zeiten, aber die Wörter bleiben.

In der Alltagssprache bezeichnet Summe einen Geldbetrag, egal, ob er durch Addition zustande gekommen ist oder nicht. Diesen Begriffsinhalt benutzen wir in der Mathematik aber nicht. Summe bedeutet nur das Ergebnis des Zusammenzählens von Zahlen. Das macht das Plus-Zeichen eindeutig klar.

Das Ergebnis einer Addition ist die Summe.

Das Wort subtrahieren stammt vom lateinischen substrahere „abziehen“ (sub- „unten“, trahere „ziehen“).  Das Rechenzeichen für die Subtraktion ist das Minuszeichen „−“. Es wurde 1489 von Johannes Widmann eingeführt.

„minus“ bedeutet „weniger“.

Minuend („der zu Verringernde“)
Die Zahl, von der eine andere Zahl abgezogen wird, heißt Minuend (lateinisch „der zu verringernde“ aus: minuere „verringern“ und -end „zu“).

Subtrahend („der Abzuziehende“)
Die Zahl, die abgezogen wird, heißt Subtrahend (lateinisch „der abzuziehende“ aus: subtrahere „abziehen“ und „-end „zu“).

Differenz („der Unterschied“)

Der Vorgang der Subtraktion ergibt eine Differenz (lat. dis- „zer" und fere „tragen“ > „auseinander tragen“, also „Unterschied“)

Minuend - Subtrahend = Differenz

wörtlich: „Das zu Verringernde“ minus „das Abzuziehende“ ist gleich dem „Unterschied“

Die lateinischen Fachbegriffe sind kürzer und klingen nicht so hölzern wie ihre deutschen Übersetzungen, was zeigt, dass die deutsche Sprache für wissenschaftliche Zwecke weniger geeignet ist.

Multiplizieren („Malnehmen“)

Das Zeitwort multiplizieren leitet sich vom lateinisch multiplicare „vervielfachen“ ab (multus „viel“ und plicare „falten“), also was man ganz viel faltet. In der Mathematik wird nun keine Wäsche gefaltet, sondern es werden Zahlen mal genommen.

(Bild: openclipart.org)

Die Multiplikation ist der Vorgang des Multiplizierens. Sie ist erkennbar an dem Punkt zwischen den Zahlen. Oft sieht man auch ein x. Das ist das Gleiche. Sie ist eine vereinfachte Schreibweise für die Addition von gleichen Zahlen.

Faktor („Macher“)
Der Begriff Faktor leitet sich vom lateinisch factor „Macher, Urheber“ ab, also der irgendetwas macht. In der Mathematik wird dieser Begriff speziell für die Multiplikation („Malnehmen“) benutzt. Er ist eine Zahl, die mit einer anderen Zahl multipliziert wird.

  Beispiel



Die Zahl 3 ist ein Faktor. Die Zahl 4 ist auch ein Faktor.

Faktor * Faktor = Produkt

Multiplikator („Malnehmer“)
Der Begriff Multiplikator besteht aus den Wörtern multus „viel“ und plicare „falten“ und -tor „Instrument“. Es handelt sich um eine Zahl, mit etwas malnimmt. Es ist der erste Faktor bei der Multiplikation.

Multiplikator * Multiplikand = Produkt

Multiplikand („Malnehmender“)
Der Begriff Multiplikand besteht aus den Wörtern multus „viel“ und plicare „falten“ und -tant „machend“. Es handelt sich um eine Zahl, mit ebenfalls mal nimmt. Es ist der zweite Faktor bei der Multiplikation. Er sieht dem Begriff Multiplikator rein äußerlich ähnlich. Bei mehreren Faktoren ist der Gebrauch dieser Begriffe nicht mehr sinnvoll.

Produkt („Erzeugnis“)
Das Hauptwort Produkt besteht aus pro- „vor“ und ducere „führen“, was man nach „vorne führt“, also produziert. Mathematisch ist damit das Ergebnis einer Multiplikation gemeint. Siehe die obigen Definitionen.

Division („Teilung“)
Der Begriff Division ist das Hauptwort zu lateinisch dividere „teilen“. Es bezeichnet den Vorgang des Teilens von Zahlen.

Quotient („wie teilbar“)Der Begriff Quotient leitet sich von lateinisch quotiens “wie oft, wie viel mal“ her. Gemeint ist, wie oft ist eine Zahl durch eine andere teilbar. Der Quotient ist das Ergebnis einer Division („Teilen“).

Dividend („was geteilt wird“)Der Begriff Dividend stammt vom lateinischen dividendus “zu teilender (Wert)“. Das Zeitwort heißt dividere „teilen“. Der Dividend ist beim Teilen immer die erste Zahl, die vorne steht. Der Vorgang des Teilens heißt Division. Sie ist an dem Doppelpunkt erkennbar.

Divisor („Abteiler“)

Der Divisor leitet sich von lateinisch divisor  „(Ab)teiler“ her. Das ist die zweite Zahl bei einer Division vom einfachsten Typ. Diese Zahl teilt den Dividenden in so und so viel Teile. Wie viele Teile das dann ergibt, hängt von der Größe des Divisors ab. Ein kleiner Divisor ergibt mehr Teile als ein großer Divisor.

Dividend : Divisor = Quotient

Nun sind wir in der Lage, in die Kulissen zu schauen und nachzuvollziehen, was Grundrechenarten überhaupt sind. Vorsicht, es wird etwas verwirrend, weil ihr im Folgenden gar nicht mit Zahlen rechnen werdet, sondern nur mit bestimmten Axiomen („plausible Grundannahmen“) hantieren werdet. Obwohl das so „blöd“ aussieht, bitte jeden Schritt auswendig lernen. Damit übt ihr die Beweistechnik ein, die ihr immer wieder gut gebrauchen könnt.

Eine Menge zusammen mit den Rechenoperationen + und * heißt Körper wenn folgendes gilt:

Addition

Abgeschlossenheit

Kommutativgesetz

Assoziativgesetz

Neutrales Element

Inverses Element

Multiplikation

Abgeschlossenheit

Kommutativgesetz

Assoziativgesetz

Neutrales Element

Inverses Element

Distributivgesetz

Angeordnete Körper

Ein Körper auf dem die Relation < definiert ist, wird als angeordneter Körper bezeichnet.

Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn gilt:

1.

2. Inverses Element

Ist so gibt es genau ein y in mit

Schreibe

• mit und ist der kleinste mögliche Körper.

• sind Körper