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Algebraischer Körper

Die Algebra im engeren Sinn [. . .] ist die Lehre von der Auflösbarkeit und den Lösungsmethoden algebraischer Gleichungen.” [Sch89, Seite 64]

„Der Begriff Algebra wird heute mehrdeutig gebraucht. Gelegentlich bezeichnet man damit sogar selbst eine gewisse Menge von Elementen, hinsichtlich der eine endliche Zahl von Operationen und Axiomen definiert wird (Theorie allgemeiner Algebren).” [Sch89, Seite 64]

In der Mathematik spricht man von einem Körper, wenn eine Struktur vorliegt, in der man unbeschränkt addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren kann. Dieser Begriff hat nichts mit den „platonischen Körpern“ aus der Geometrie zu tun.

Die Bezeichnung Körper wurde im 19. Jahrhundert von Richard Dedekind eingeführt.

Richard Dedekind (1831 – 1916) (Quelle: wesleyan.edu)

„In seiner Schrift Was sind und was sollen Zahlen? schrieb er 1888:

„Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden.“

„Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlenwissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlenreich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlenreich beziehen.“ [Wik13a]

Obwohl die Zahlen eine menschliche Erfindung sind, sind sie aus der Anschauung abgeleitet, und sind damit in der Natur eingebettet. Sie ermöglichten den Aufstieg des Homo sapiens zum Herrn der Natur.

Die wichtigsten Körper der Mathematik sind der Körper der reellen Zahlen, der Körper der rationalen Zahlen und der Körper der komplexen Zahlen. Die Namensabkürzungen sind sinnig gewählt. R bedeute „reell“, Q bedeutet „Quotient“, C bedeutet „complex“.

Allgemeine Definition von Körpern

Die Abkürzung für Körper ist K und zwar soll das K eine Menge darstellen.

Ein Körper ist eine Menge K, die mit zwei zweistelligen Verknüpfungen „“ und „“ versehen ist. Diese Verknüpfungen heißen Addition und Multiplikation. Mindestens zwei der Elemente werden also mit dem Pluszeichen oder Malzeichen verknüpft oder einfach ausgedrückt, man addiert und multipliziert.

Die inversen („umgekehrten“) Verknüpfungen heißen Subtraktion und Division.

Zusätzlich müssen noch die folgenden Bedingungen erfüllt sein:

Die Assoziativität („Verflechtung”) der verknüpften Elemente sowie

(K, +) ist eine abelsche Gruppe mit dem neutralen Element 0, und

ist eine abelsche Gruppe mit dem neutralen Element 1

Die Schreibweise mit der Klammer und dem großen K und dem Pluszeichen bzw. dem Malpunkt ist nur eine Stenoschrift, wie sie Mathematiker lieben. Wenn ihr das seht, denkt an die Addition und Multiplikation und deren inversen Operationen Subtraktion und Division. Bei dem Begriff „abelsch“ erinnert euch an das Kommutativgesetz angewandt auf die Elemente einer Gruppe.

Das Symbol übersetzt mit „außer der 0“, was die Division durch 0 betrifft. Die Schreibweisen mit den Klammern sind ungewohnt. Sie stellen nichts weiter als knappe Aussagen dar. Ihr braucht hier nicht erwarten, dass eine Rechenaufgabe auf euch wartet. Vielmehr wird mit dieser Kürzelsprache beschrieben, wie man später Rechenaufgaben löst. Das „Wie“ wird in der Definition der Körper grundlegend festgelegt.

Nun fehlt nur noch ein Gesetz. Es legt fest, wie die Addition und Multiplikation miteinander verknüpft („verteilt“) werden können.

Es gilt das Distributivgesetz („Verteilungsgesetz“).

Für alle gilt:

Das ist links-distributiv. Der Faktor a steht links vor der Klammer.

Das ist rechts-distributiv. Der Faktor a steht rechts hinter der Klammer.

Ein Körper hat also die zwingenden Eigenschaften:

1. Eine zweistellige Verknüpfung (plus und mal) liegt vor.

2. Die Reihenfolge der Verknüpfung ist beliebig (assoziativ).

3. Die Elemente sind vertauschbar (kommutativ).

4. Es gibt zwei neutrale Elemente 0 (Addition) oder 1 (Multiplikation).

5. Es gibt zu jedem Element auch ein inverses Element (Ausnahme Division durch 0)

6. Die Addition und Multiplikation können miteinander verknüpft werden (distributiv).

Neu an den Körpereigenschaften im Vergleich zur abelschen Gruppe ist Punkt 6, das Distributivgesetz („Verteilungsgesetz“). Dadurch unterscheiden sich Körper von einfachen abelschen Gruppen.