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Häufungspunkte von Mengen

Häufungspunkt

Ein a heißt Häufungspunkt von , falls es zu jeder -Umgebung ein Element von mit gibt.

Symbole:

Satz von Bolzano-Weierstraß

Jede unendliche, beschränkte Menge besitzt mindestens einen Häufungspunkt.

P heißt Häufungspunkt einer Menge M, wenn in jeder Umgebung des Punktes P mindestens ein anderer Punkt von M liegt. Er darf nicht mit dem Punkt P zusammenfallen, sondern muss davon verschieden sein.

Ein Häufungspunkt einer Menge ist ein Punkt, der unendlich viele Punkte der Menge in seiner Nähe hat. Das ist bei den reellen Zahlen immer der Fall, wie ihr gleich bei den Beispielen sehen werdet.

Liegen innerhalb jeder Umgebung von a unendlich viele Glieder einer Folge , so heißt a Häufungspunkt der Folge.

„Eine Zahlenfolge hat einen Häufungspunkt (eine Häufungsstelle) bei der Zahl a, wenn in einer beliebig kleinen Umgebung der Zahl a, also zwischen den Zahlen a – ε und a + ε (ε ist beliebig klein) noch unendlich viele Zahlen liegen, die der Folge angehören. Die Häufung kann entweder nur von rechts, also zwischen den Zahlen a und a + ε, oder nur von links, also zwischen den Zahlen a – ε und a, oder von beiden Seiten her stattfinden.“ [Bau79a, S. 6]

Die offenen Klammern bei dem folgenden Schaubild sollen verdeutlichen, dass die Endpunkte nicht zur Epsilon-Umgebung gehören.

Eine Epsilon- bzw. ε-Umgebung um die Zahl a, eingezeichnet auf der Zahlengeraden (Quelle: Stephan Kulla)

Beispiele

Die Folge soll durch die pfeilspitzigen Klammern < > symbolisiert werden. Das ist eine reine Konvention. Üblich sind auch runde Klammern, wie ihr gleich sehen werdet. Der Index n beschreibt die Position des n-ten Gliedes in einer Folge. Man setzt einfach für die Variable n verschiedene natürliche Zahlen ein.

Folge mit wechselndem Vorzeichen

Hier setzt ihr für die Variable n nacheinander die Zahlen 1, 2, 3 usw. ein. Ein ungerader Exponent macht das Ergebnis negativ. Ein gerader Exponent führt zu einem positiven Ergebnis.

(-1)¹ ergibt -1.

(-1)² ergibt 1.

(-1)³ ergibt -1.

(-1)¹⁰⁰⁰ ergibt 1.

Als Ergebnis erhaltet ihr den ewigen Wechsel von minus 1 und plus 1. Das bedeutet, es gibt zwei Häufungspunkte: -1 und 1.

Anderes Beispiel:

Eine Folge, wo der Zähler um 1 größer ist als der Nenner

Hier setzt ihr für die Variable n nacheinander die Zahlen 1, 2, 3 usw. ein.

n = 1 ergibt 2.

n = 2 ergibt 3/2 = 1,5.

n = 3 ergibt 4/3 = 1,3333…

n = 1000 ergibt 1001/1000 = 1,0001

Ihr habt bemerkt, die Folge nähert sich der Zahl 1. Das ist ihr Häufungspunkt.

Der Häufungspunkt kann auch mit dem Limes-Symbol dargestellt werden. Wenn es eine Folge in gibt mit dann heißt b Häufungspunkt der Menge A. Anders ausgedrückt, die Folgeglieder a_n werden der Menge A entnommen. Jedoch darf der Grenzwert b vorerst nicht als Glied der Folge agieren, weshalb er ausdrücklich von der Menge ausgenommen ist. Erst bei dem letzten Glied mit dem Index n kann es zum „Vollzug der Ehe“ kommen, wenn sich das Glied n und der Grenzwert „vereinigen“, also gleich sind.

soll eine Folge darstellen. Der Index n stammt aus einer Indexmenge mit dem Namen L. Die Indizes bestehen aus natürlichen Zahlen. Stellt euch einfach eine der oben aufgeführten Folgen vor. Mehr soll die Notation nicht ausdrücken. Da wird noch nichts gerechnet.

soll eine Menge sein, die aus lauter reellen Zahlen besteht. Die Folgeglieder a_n werden aus den Elementen dieser Menge gebildet, außer der reellen Zahl b. Diese Zahl b ist reserviert für einen besonderen Zweck. Das kleine a symbolisiert die Folgeglieder und das große A symbolisiert die Menge, aus der sie genommen werden.

ist eine Schreibweise für den Grenzwert der Folge a_n. Sie stößt schließlich auf die Zahl b wie ein Satellit, der auf einen Kometen aufschlägt. Das kleine n unter der Abkürzung „lim“ für Limes besagt, dass das letzte Folgeglied mit dem Index n den Grenzwert b erreicht. Er heißt in diesem Fall Häufungspunkt.

Satz von Bolzano-Weierstraß

Jede unendliche, beschränkte Menge besitzt mindestens einen Häufungspunkt

Häufungspunkt von Mengen

Wenn bei einer beschränkten Folge der kleinste Häufungspunkt (Limes inferior: ) gleich dem Größten (Limes superior: ) ist, ist dies der Grenzwert der Folge II.21

Wenn es eine Folge in gibt mit dann heißt b Häufungspunkt der Menge A.