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Offene Mengen

Offene Menge

Eine Menge heißt offen, falls es zu jedem Punkt eine -Umgebung gibt, welche in liegt.

Schreibweise:

Beispiele

sind offene Mengen

sind nicht offen

Offene Teilmengen

Sei ein metrischer Raum. Eine Teilmenge heißt offen in , falls gilt:

zu jedem gibt es ein mit .

Endliche Durchschnitte und beliebige Vereinigungen von Systemen offener Mengen sind wieder offen.

Offene Intervalle auf sind offene Mengen.

ist stets offen in .

ist stets offen in .

Satz über offene Mengen

Sei metrischer Raum, . Dann sind gleichwertig:

ist offen in .

Eine offene Menge ist eine Menge ohne eine Begrenzung durch einen Rand. Anschaulich ist eine Menge offen, wenn ihre Elemente nur von Elementen dieser Menge umgeben sind, mit anderen Worten, wenn kein Element der Menge auf ihrem Rand liegt.

Beispiel

Reelles Intervall (0, 1), anders geschrieben:  0 < x < 1

< ist das Zeichen für „ist kleiner“.

Zwischen den Grenzen 0 und 1 sollen alle reellen Zahlen liegen. Dazu gehören dann 0.1 oder 0.001 oder 0.001 usw.. Jedoch liegt die Zahl 0 nicht in diesem Intervall. Sie ist ein Randpunkt dieser Menge, und der gehört nun mal nicht zu dieser offenen Menge.

Für die Intervallgrenze 1 lässt sich entsprechend sagen: 0.9 oder 0.99 oder 0.999 sind erlaubt, aber nicht 1. Die Zahl 1 ist ein Randelement. Sie gehört nicht zu diesem Intervall.

Im kann man sich offene Mengen vorstellen als Mengen, bei denen man den Rand weggelassen hat.

Anschaulich kann man sich das an einer Kugel klar machen, wo alle Punkte innerhalb der Kugel zu dieser Menge gehören, jedoch die Oberfläche gehört nicht dazu. Das ist wie eine heiße Tasse Milch ohne eine Haut oben drauf. Mathematischer gesprochen: Die Teilmenge U eines n-dimensionalen Raumes ist offen, wenn jedes Element x dieser Teilmenge innerhalb einer bestimmten ε-Umgebung liegen.

Offene Kugel

Die Länge von e (sprich: epsilon) ist ein Stück des Radius, nämlich die Differenz der Radiuslänge und des Punktabstands y vom Mittelpunkt x. Die Bezeichnung d(x,y) bedeutet Distanz, der Abstand vom Mittelpunkt x und dem Punkt y. Der Punkt y kann sich innerhalb oder außerdem des Kreises befinden.

Beispiele

Die reellen Zahlen sind vollständig auf dem Zahlenstrahl vertreten. Es kann jeder beliebige Abstand mit ihnen erzeugt werden.

Die leere Menge kennt keine Begrenzung.

(a, b)

Die runden Klammern zeigen an, dass eine offene Menge vorliegt, da ihre Endpunkte nicht zu dem Intervall gehören.

Auch die Vereinigung von offenen Mengen bildet wieder eine offene Menge.

Die offene Teilmenge

Wir betrachten einen metrischen Raum X. Das Innere von A ist offen.

.

Das Symbol bezeichnet die größte offene Teilmenge von S. Der Buchstabe U ist die Abkürzung von Untermenge. Diese Untermenge (Teilmenge) ist offen, hat also keinen Rand, und befindet sich in der Menge S. ist die Vereinigung aller offenen Teilmengen der Menge A.s

Nichtoffene Mengen

Beispiele

Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen sind nicht vollständig auf dem Strahlstrahl vertreten. Deshalb haben sie zwangsläufig Eckpunkte und sind damit keine offenen Mengen.

[a, b]

Die eckigen Klammern zeigen an, dass keine offene Menge vorliegt, da die Eckpunkte zu dieser Menge gehören sollen.