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Offene Epsilon-Umgebung

ε-Umgebung

Die Menge heißt ε-Umgebung von x für .

Das Intervall (a-e, a+e) heißt ε-Umgebung (Epsilon-Umgebung) oder Umgebung von a. Man zieht von einer Zahl eine andere Zahl, genannt ε ab bzw. addiert zu dieser Zahl das ε. Das Epsilon ist auch eine Zahl, die man beliebig wählen kann.

Links und rechts von der Zahl a liegt also die ominöse Epsilon-Umgebung. Diesen griechischen Buchstaben könnte man als Abkürzung von „Entfernung“ (von der Zahl a) auffassen.

Hierbei muss ε (Entfernung) positiv und die Zahl a eine reelle Zahl sein. Warum positiv, also e>0? Ganz einfach, sonst würden wir uns mit einem Vorzeichenwechsel im Intervall von ε und a abplagen.

Schreibweise:

Die Schreibweise ist eine elegante Abkürzung für die Epsilon-Umgebung des Punktes a. Sie ist sehr nützlich. Statt der Variablen ε und a kann man direkt Zahlen einsetzen. Eine solche Umgebung ist nicht beschränkt auf einen Zahlenstrahl. Auch auch Flächen oder Räume ist sie anwendbar.

Umgebung in einer Zahlenebene

Beispiele

Die Zahl a soll den Wert 3 haben. Wir setzen bei der Formel für das ε verschiedene Werte ein. Das Beispiel soll zeigen, dass die Umgebung ganz unterschiedlich sein könnte.

a = 3

ε = 1

ε = 0,1

ε = 10^-8

Hier ist ε = 1, unten beim U zu sehen. Statt der Variablen a habe ich die Zahl 3 in die Klammer bei U₁ geschrieben.

Hier ist ε = 0,1.

Hier ist ε = 10^-8. Das ist nun eine riesige Umgebung von a = 3, was uns aber nicht weiter stört.

Nachdem wir ein Gespür für die Epsilon-Umgebung erhalten haben, präsentiere ich die formale Darstellung.

Der Abstand von einer Zahl a ist kleiner als eine kleine Epsilon-Zahl, was bedeutet, dass von dieser Zahl a die Epsilon-Zahl in beiden Richtungen subtrahiert oder addiert wird. Alle Punkte mit einem bestimmten Abstand a von einem reellen Punkt x müssen innerhalb einer beliebigen Umgebung (Zahl) ε liegen. Die Zahl Epsilon darf jedoch nicht erreicht werden.