Herleitung der inversen Ableitung

Formel:

 

[image]

 

Beweis

 

Grundgedanke:

 

[image]

 

Die Funktion [image] der Umkehrfunktion [image] ist [image].

 

[image]

 

Eine Funktion, die auf sich selbst angewandt wird, führt zurück in den Definitionsbereich [image].

 

Ableitungen nach [image] auf beiden Seiten der Gleichung bilden:

 

[image]

 

a) Differenzieren des linken Terms über die Kettenregel:

 

[image]

„Äußere Ableitung mal innere
Ableitung.“

Die Funktion [image] entspricht der
Umkehrfunktion [image].

b) Der rechte Term wird eins, denn

[image].

 

Ergebnis:

 

[image]

 

Umstellen der Formel nach [image]:

 

[image]

 

Kürzere Schreibweise:

 

[image] [image]

 

Die Ableitung einer Funktion [image] ist gleich dem Inversen der Ableitung seiner Umkehrfunktion [image].

 

Beispiel

 

Differenziere nach der inversen Ableitung.

 

Funktion:

 

[image]

 

Variablentausch

 

[image] | ^5

 

Umkehrfunktion:

(Zur Berechnung der Umkehrfunktion muss die Funktion nach [image]aufgelöst werden.)

 

[image]

 

Ableitung:

 

[image]

 

Lösung:

 

Formel: [image]

 

Einsetzen der Variablen und Zahlen.

 

[image]

 

Häufiger Lösungsweg nach der Potenz-Regel [image]:

[image]