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Ableitung einer inversen Funktion

Ableitung von Umkehrfunktion

, die Umkehrfunktion soll existieren, f stetig, f differenzierbar.

Austausch der Variablen

Wir zeigten:

Satz 7

Ist f streng monoton und stetig in einer Umgebung des Punktes y₀ und es existiere in y₀ die Ableitung , dann ist die Umkehrfunktion im Punkt differenzierbar und es gilt:

Beispiel

Beispiel

Es gibt stetige Funktionen, die in einem (oder mehrere, auch unendlich viele) Punkte keine Ableitung besitzen.

= inverse Funktion

Alt:

(Die Ableitung der Umkehrfunktion wird in den Nenner geschrieben. Dann wird die Funktion bei der Variablen eingesetzt.)

Beispiel 1

Differenziere nach der inversen Ableitung.

Funktion:

Variablentausch:

|

Umkehrfunktion vom Logarithmus:

Ableitung der Umkehrfunktion nach :

(Bleibt gleich.)

Lösung der Aufgabe in zwei Schritten:

(Die Ableitung der Umkehrfunktion in den Nenner schreiben und die Originalfunktion bei einsetzen. Die -Funktion und der Logarithmus heben sich auf. Übrig bleibt der Ausdruck hinter .)

Beispiel 2

Differenziere nach der inversen Ableitung.

Funktion:

Variablentausch:

|

Umkehrfunktion vom Arkussinus:

Ableitung der Umkehrfunktion nach :

Der wird durch den trigonometrischer Pythagoras ersetzt.

Einsetzen von in .

Sinus und Arkussinus heben sich auf. Das Quadrat von bleibt übrig.

Lösung der Aufgabe:

Einsetzen der abgeleiteten Umkehrfunktion in die Formel.

Formel:

Anmerkung:

Trigonometrischer Pythagoras

Umstellen nach Cosinus und Wurzel ziehen.

Beispiel 3

Differenziere nach der inversen Ableitung.

Funktion:

Variablentausch:

|

Umkehrfunktion der Wurzel:

Ableitung der Umkehrfunktion nach :

Lösung der Aufgabe:

Formel:

Einsetzen der Variablen und Zahlen bei .

Beispiel 4

Differenziere nach der inversen Ableitung.

Funktion:

Variablentausch

|

Umkehrfunktion der -Funktion:

Ableitung der Umkehrfunktion nach :

Lösung der Aufgabe:

Einsetzen der Variablen und Zahlen bei .

Formel: .

Den Kehrwert des Bruchs bilden, der in den Nenner gesetzt wird. Durch einen Bruch wird dividiert, indem sein Kehrwert multipliziert wird. Dann bei die Funktion
einsetzen.