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Inhomogene lineare DGL

Die inhomogene DGL ist wie eine homogene DGL, nur hat sie einen zusätzlichen Term, der von abhängt.

Bestimme die allgemeine Lösung der homogenen DGL:

Das Hochzeichen bedeutet „homogen“.

Bestimme eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL.

Ableitungen bilden:

Die Ableitungen entsprechen den bereits bekannten DGLs. Sie haben die lineare Funktion gemeinsam, die ausgeklammert werden kann.

Nach dem Ausklammern:

Die allgemeine DGL findest du unter der Bedingung .

Beispiel

Das Modell der ersten Aufgabe wird um den konstanten Zulauf ergänzt.

Gleichung:

Der konstante Volumenzufluss wird errechnet, indem vom Volumen die Fläche „weggenommen“ (dividiert) wird. Das ergibt dann die -Höhe . Sie entspricht dem inhomogenen Teil der DGL.

Bestimme die allgemeine Lösung der homogenen DGL:

Das Hochzeichen bedeutet „homogen“.

Bestimme eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL.

Die konstante Funktion , wird eingesetzt in die Ableitung:

Ergebnis:

Man muss also zielgerichtet vorgehen und die inhomogene Funktion in die Ableitungsfunktion einsetzen und dann probieren, welche Rechenoperation diese zu null macht. Das passt, wenn bei im Nenner die Variable steht. Dann ergibt der erste Term und die Addition zum zweiten Term ergibt null.

Die Änderungsrate wird null. Damit ist die Bedingung erfüllt. Offenbar ist die konstante Funktion eine spezielle Lösung.

Das führt zur allgemeinen DGL:

Hier ist noch ein Vorfaktor vorhanden, der näher bestimmt und in einen Anfangswert umgewandelt werden soll.

Setze für den Anfangswert null ein.

Das ergibt die Gleichung:

Stelle nun die Gleichung nach um.

Setze in die DGL ein.

Das ist die Lösung zum Anfangswert. Damit ist die Bedingung erfüllt.

Bei dieser DGL muss der inhomogene Teil durch den Vorfaktor dividiert und der Anfangswert um den Subtrahenden korrigiert werden.