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Lösung einer linearen DGL 1. Ordnung (quadratischer Ansatz)

Bestimme die Lösungen der folgenden inhomogenen DGL.

Aufgabe

Das ist eine lineare inhomogene DGL der ersten Ordnung. „Linear“, weil alle Koeffizienten Zahlen sind. „Inhomogen“, weil auf der rechten Seite ein Term ungleich null ist.

Folgende Anfangsbedingung wurde vorgegeben:

A) Lösung nach der Störfunktion

Es liegt eine quadratische Störfunktion vor. Daher einen quadratischen Ansatz wählen.

quadratischer Ansatz:

Ableitung:

Den quadratischen Ansatz und seine Ableitung in die DGL einsetzen. Ersetzen der Ableitung und des -Terms der DGL durch den quadratischen Ansatz und seiner Ableitung.

Ausrechnen der DGL und Umsortierung der Terme:

Sortieren nach -Potenzen.

Ausklammern der Koeffizienten.

Die Parameter , und bestimmen. Dazu werden die Terme in den Klammern gleich gesetzt.

I)

II)
(dividiert durch 2)

(weil schon bekannt ist)

III)

(Einsetzen von )

Die Lösung nach der Störfunktion ergibt sich durch Einsetzen der Parameter in den quadratischen Ansatz.

B) Lösung der homogenen DGL

Zuerst die inhomogene DGL der Aufgabe auflösen. Dazu setzt man die linke Seite der Gleichung auf null. Die Störfunktion (rechts) bleibt unbeachtet.

homogene DGL:

Jetzt den exponentiellen Ansatz wählen.

Ansatz:

Ableitung: (Ableitung nach über die Kettenregel)

Der Hintergrund ist, dass viele Naturprozesse exponentiell verlaufen. Den Ansatz und seine Ableitung in die homogene DGL einsetzen.

homogene DGL:

Ausklammern der Koeffizienten vor der -Funktion.

homogene DGL:

Ein Produkt wird 0, wenn einer der Faktoren oder beide Faktoren null werden. Deshalb lösen wird den ersten Faktor nach auf.

Wenn ist, wird der erste Faktor null. Der zweite Faktor kann wegen der -Funktion nicht null werden. Die errechnete Variable wird nun in den Ansatz eingesetzt.

Ansatz:

Das ist die Lösung der homogenen DGL

C) Allgemeine Lösung der DGL

Die allgemeine Lösung wird durch die Addition der Lösung nach der Störfunktion und der homogenen Lösung entwickelt.

Die Anfangsbedingung wird für diese Funktion verwendet. Sie wird gesetzt, und bei den -Termen wird eingesetzt.

Ausrechnen.

Umstellen.

Auflösen. Übrig bleibt der Koeffizient .

Jetzt noch dieses Ergebnis in die allgemeine Lösung einsetzen.

Nun haben wir mit dem obigen langwierigen Verfahren herausgefunden, welche -Funktion sich als allgemeine Lösung hinter der DGL versteckt. Die allgemeine Lösung der DGL lautet:

Den Index beim können wir getrost weglassen. Übt dieses Verfahren ein.