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Integralgleichungen

Die Integralgleichung soll gelöst werden:

1) Die linke Seite der Integralgleichung

Um das Differenzial dA los zu werden, setzen wir vor die Gleichung erst mal ein Integral:

Die Integralgrenzen für die Stoffmenge ergeben sich aus der Ausgangsstoffmenge und der aktuellen Stoffmenge A. Sie sieht dann mit den entsprechenden Integralgrenzen so aus:

Integralregel:

Die Integration des Bruchs mit der Integrationsvariablen dA erfolgt über die Logarithmierung des Nenners ln(Nenner).

Nach dem Einsetzen der Integrationsgrenzen subtrahiert ihr:

Die Differenz von Logarithmen kann man als Quotient schreiben:

Das ist also das Ergebnis nach der Integration der linken Seite der Gleichung.

2) Die rechte Seite der Integralgleichung

Nun beschäftigen wir uns mit dem Integral auf der rechten Seite der Gleichung. Die Integralgrenzen für die zeitlichen Veränderungen sind die Startzeit 0 und der aktuelle Zeit t.

Die Konstante k kann man getrost vor das Integralzeichen ziehen.

Jetzt wird integriert nach der Integrationsregel:

Diese Regel wende ich auf die rechte Seite der Integralgleichung an. Die nicht vorhandene Variable t nach dem Integralzeichen bilde ich durch einen Trick nach. Ich schreibe sie als , was ja bekanntlich 1 ist und somit die Gleichung nicht verändert.

Anwendung der Integrationsregel ergibt:

Nach dem Einsetzen der Integrationsgrenzen t und 0 führt das zum Ergebnis:

2) Lösung der Integralgleichung

Nach erfolgter Integration liegt das Ergebnis vor.

Das kann man noch durch weitere Umformungen verschönern. Da der natürliche Logarithmus noch stört, wird er durch die Operation exp (e hoch irgendwas) entfernt.

Das ergibt:

Die e-Funktion und der natürliche Logarithmus auf der linken Seite der Gleichung beißen sich. Sie entfallen nach bekannten Regeln restlos.

Nach der Umstellung der der Variablen auf die rechte Seite der Gleichung folgt das Endergebnis:

Das ist also eine exponentielle Wachstumsfunktion.