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Definition der Integration

„[...] der große Leibniz hat auf jenen weltwichtigen Zettel vom 29. Oktober 1675 hingeschrieben, dass das neue (Integral-)Zeichensymbol ´ nichts anderes bedeute als ’Summe von ...’. Dieses Zeichen ist auch nichts anderes als ein in die Länge gezogenes großes lateinisches S.” [Col42,
Vorwort, Seite 185]

Mit Integralen kann man Flächeninhalte errechnen.

Die Fläche unter einer Kurve wird in kleine Streifen von der Breite unterteilt. Die Anzahl dieser Streifen hängt von ihrer Breite ab.

Je schmaler ein Streifen ist, umso mehr Streifen stehen zur Verfügung, die den Platz unter der Kurve ausfüllen könnten.

Der Großbuchstabe mit der Klammer soll dies verdeutlichen. Er symbolisiert eine Funktion . Anhand dieses Funktionsnamens kannst du sofort ersehen, welchen Zweck die Funktion hat, nämlich die Anzahl der Streifen zu ermitteln.

Die Fläche eines Streifens ergibt sich aus dem Produkt seiner Breite und seiner Höhe, die dem Funktionswert entspricht. Der Index ist fortlaufend und gibt den Streifen eine bestimmte Nummer. Die Nummer beginnt bei eins und endet bei .

Fläche eines Streifens:

oder:

Summiere alle Streifen und benutze das Summenzeichen.

Benutze jetzt die Nummerierung der einzelnen Streifen.

Die Nummer des ersten Streifens beginnt mit der Eins und der letzte Streifen ist , die von der Breite der benutzten Streifen abhängt .

Die feste Breite der Streifen kannst du vor das Summenzeichen ziehen. An der Gesamtfläche unter der Kurve ändert das nichts.

Was würde passieren, wenn die Streifenbreite so winzig klein würde, dass sie praktisch null wäre?

Für dieses Ereignis benutzt du den Grenzwert. Schreibe also oben links an das Summensymbol, was du vorhast.

Die Streifenbreite soll also praktisch null werden, daher .

Was folgt aus dieser Quetschung der Streifen? Es entsteht ein neues mathematisches Objekt mit dem Namen Integral . Diese Funktion trägt oben rechts den Großbuchstaben . Er verweist auf das eben benutzte Verfahren der Summierung.

Wenn die Streifenbreite praktisch auf null geschrumpft ist, wird das Integralsymbol benutzt.

Die Streifenbreite ist also bei dieser Formel verschwunden. Die Kurve verbirgt sich hinter dem Funktionsnamen . Das Symbol ist eine verblasste Erinnerung daran, wo sich die Streifenbreite befunden hatte.

Beim Integral kann der Bereich und angegeben werden, der für die Flächenberechnung gebraucht wird. Er steht als Index neben dem Großbuchstaben .

Der Bereich umfasst die Fläche von bis . Der andere Bereich umfasst eine größere Fläche von bis . Sie heißen auch Grenzen.

Nach der erfolgreichen Integration werden die beiden Grenzen übereinander hinter einen senkrechten Strich geschrieben.

Integration liefert eine bestimmte Formel , in der die Grenzen eingesetzt werden.

Die gewollte Fläche liegt zwischen diesen Grenzen. Sie ergibt sich über die Differenz der beiden Flächen nach dem Einsetzen von und in die Formel.

Überblick:

Der Grenzwert der Funktion ab dem Startpunkt heißt . Die Differenz der Flächen ???

Integrale:

Das Integral einer Funktion berechnen:

Integriere die Teilfunktion (Aufforderung):

Unbestimmtes Integral:

(nach x)

(nach t)

Bestimmtes Integral:

Flächenintegral:

Volumenintegral:

„[...] der große Leibniz hat auf jenen weltwichtigen Zettel vom 29. Oktober 1675 hingeschrieben, daß das neue (Integral-)Zeichensymbol   nichts anderes bedeute als 'Summe von ...'. Dieses Zeichen ist auch nichts anderes als ein in die Länge gezogenes großes lateinisches S.” [Col42, Vorwort, Seite 185]

Integral allgemein

Ist f eine Regelfunktion und eine Folge von Stufenfunktionen, die gleichmäßig gegen f konvergiert. Wir setzen

• Dieser Grenzwert existiert

• Ist unabhängig von der konkreten Wahl der Stufenfunktion

• Dieser Ausdruck heißt Riemann-Integral von f, es gibt noch weitere Integraldefinitionen

• Sind f,g Regelfunktionen mit für alle , so gilt

Flächen- und Stammfunktion / unbestimmtes Integral

Sei integrierbar

Flächenfunktion

unbestimmtes Integral

Stammfunktion

• Alle drei Begriffe sind bis auf Feinheiten gleichwertig.

• Es gibt mehrere verschiedene zu einer gegebenen , die sich nur durch eine Konstante unterscheiden

• Stammfunktionen sind in gleichmäßig stetig

•

• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

– Integrieren ist Umkehroperation des Differenzieren und umgekehrt