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Uneigentliches Integral

Uneigentliches Integral (Definition)

Sei und f sei auf jedem Teilintervall [a, t] mit beschränkt und integrierbar, aber unbeschränkt auf [a, b]. Existiert der Grenzwert , so definiert man und nennt diesen Grenzwert uneigentliches Integral.

Das Integral heißt in diesem Fall konvergent. Analog definiert man falls die Polstelle von f in a liegt.

Falls sie in c liegt , definiert man

.

Dabei müssen beide Grenzwerte existieren.

Uneigentliches Integral (Definition)

f sei auf jedem endlichen Intervall [a, t] mit a < t beschränkt und integrierbar. Existiert der Grenzwert , so heißt dieses ebenfalls uneigentliches Integral

Dieses Integral heißt konvergent.

Beide Grenzwerte müssen existieren.

Uneigentliche Integrale haben unendliche Integrationsgrenzen.

Die Integrationsgrenze wird durch die Variable ersetzt.

Nach der Integration nach .

Nebenrechnung (Integrieren):

Regel:

Nach der Anwendung:

Bilde die Differenz der Stammfunktion mit den Integrationsgrenzen und .

(vorher)

Differenz der Stammfunktion nach Einsetzen der Integrationsgrenzen:

Berechne den Grenzwert durch Einsetzen von unendlich.

Die Fläche unterhalb der Kurve beträgt FE.

Beispiel

Berechne das uneigentliche Integral:

Die Integrationsgrenze wird durch die Variable ersetzt. Jedoch wird der Grenzwert nicht direkt als null angegeben, sondern nur von rechts gegen null geschickt. Der Grund liegt an der Variablen im Nenner, der sonst null würde.

Der rechtsseitige Grenzwert lautet: .

Nach der Integration nach .

Nebenrechnung (Integrieren):

Regel:

Nach der Anwendung:

Bilde die Differenz der Stammfunktion mit den Integrationsgrenzen und .

(vorher)

Differenz der Stammfunktion nach Einsetzen der Integrationsgrenzen:

Berechne den Grenzwert durch Einsetzen von .

Die Fläche unterhalb der Kurve divergiert.

Beispiel

Integriere das uneigentliche Integral:

Die Integrationsgrenze wird durch die Variable ersetzt.

Nach der Integration nach .

Nebenrechnung (Integrieren):

Regel:

Nach der Anwendung:

Bilde die Differenz der Stammfunktion mit den Integrationsgrenzen und .

(vorher)

Ergebnis:

Berechne den Grenzwert mit .

Die Fläche unterhalb der Kurve divergiert.

Beispiel

Integriere das uneigentliche Integral:

Die Integrationsgrenze wird durch die Variable .

Nach der Integration nach .

Nebenrechnung (Integrieren):

Regel:

Nach der Anwendung:

Bilde die Differenz der Stammfunktion mit den Integrationsgrenzen und .

(vorher)

Ergebnis:

Berechne den Grenzwert mit .

Die Fläche unterhalb der Kurve beträgt 2 FE.