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Integration: Länge von Kurven

Längenberechnung von Kurvenstücken

gesucht: Länge der Kurve

Wieder Unterteilung der Geraden in viele Abschnitte (Approximation der Kurve durch Polygonenzug (rot)).

[a, b] wird zerlegt . Länge des Polygonenzuges approximiert l.

Wie lang ist die Kurve?

Suche eine Funktion , die die Länge der Kurve bemisst. Die Variable gibt die Funktion an, welche die Kurvenlänge errechnet.

Eine Funktion, die als Input eine andere Funktion hat, heißt Funktional und wird in eckige Klammern geschrieben

Die Kurve kann in ganz kleine Stück erlegt werden.

Strecke und

Die Länge der Strecke ist der Betrag der Differenz der beiden Strecken.

Das wird zu einem Differenzenquotienten, wenn durch die Zeitänderung dividiert wird.

Das ergibt als lineare Näherung den Geschwindigkeitsvektor :

Der Geschwindigkeitsvektor ist der Quotient aus der Strecke und der Zeit. Die Division durch das Inkrement wird durch seine Tiefstellung vor dem Betragsausdruck angedeutet. Das Inkrement braucht keine Betragsstriche. Es ist immer positiv.

Die Summe der einzelnen Strecken ist:

Die Kurvenlänge kann über das Integral der Wegstücke berechnet werden.

Beispiel

Eine Korkenzieherkurve wird parametrisiert.

Die ersten beiden Komponenten laufen immer im Kreis herum. Die -Komponente wächst an.

Berechne die Wegänderung.

Zuerst differenziere den Ortvektor nach der Zeit.

Dann errechne den Betrag des Ortsänderungsvektors, indem du die Quadrate der Komponente addierst und dann radizierst.

Jeder Faktor wird quadriert.

Den Faktor vor die Klammer ziehen. Pythagoras benutzen:

Weiterrechnen.

Die Wegstrecke wird über das Integral berechnet.

Das Wurzelzeichen in gebrochene Hochzahl umwandeln.

Die Regel anwenden.

Kehrwert im Nenner bilden.

Die Integrationsgrenzen einsetzen.

Beim letzten Term den Exponenten kürzen.

Die Länge einer Kurve hängt nicht von der Art der Parametrisierung ab.

Wechsel der Parametrisierung

Weglänge abhängig von .

Die Wegstrecke ist eine Funktion von .

Die Wegstrecke ist eine Funktion von (rechts).

Die Weglänge ist abhängig von .

Das Integral wird erweitert um die Zeit. Die Variable wirkt auf die Zeit ein:

Diese Beziehung wird in das Integral eingesetzt.

Nun haben wir eine verschachtelte Funktion, die nach der Kettenregel ausgerechnet werden kann. Die äußere Funktion ist und die innere Funktion ist .

Die äußere und innere Ableitung wird multipliziert.

Die Integrationsvariable wird auf umgeschrieben, auch mit deren Grenzen. Dadurch muss auch die Ableitung der Substitution eingefügt werden, nämlich:

Die innere Ableitung nach vorne ziehen.

Der Ausdruck bedeutet ausgeschrieben:

Kürzen ergibt eins.

Die Art der Parametrierung hat also keine Bedeutung.