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Kettenregel für Funktionen mehrerer Variablen

Die Funktion ist abhängig von der Funktion und diese wiederum ist abhängig von der Zeit .

(Der Punkt über dem Del verweist auf eine Ableitung nach der Zeit.)

Der äußere Faktor und der innere Faktor führen zu bestimmten Wirkungen in der Ableitung. Ihre jeweilige Größe ist dabei entscheidend.

Beispiel

Der Druck hängt ab vom Volumen des Gases und seiner Temperatur .

Das Volumen ist zeitlich abhängig und auch die Temperatur.

und

Im Zeitverlauf ändern sich diese Größen.

Dieser Zusammenhang lässt sich quantitativ über partielle Ableitungen beschreiben. Mit Punkt-Schreibweise:

Der Druck reagiert auf eine winzige Volumenänderung und diese ist zeitabhängig .

Zusätzlich reagiert der Druck auch auf eine Temperaturänderung und diese ist zeitabhängig .

Unterscheide die Variablen (Temperatur) und (Zeit). Achte auf die Verkettung der Variablen (Volumen) und (Temperatur).

Beweis der Kettenregel

Um die Kettenregel beweisen zu können, benutzt man die Differenz der Funktion mit einem Inkrement und ohne dieses Inkrement . Eine Variable innerhalb der Klammer (= Input) hat also diesen Zuwachs. Im Laufe der Rechnung soll dann das Delta durch Division entfallen. Dann erhält man eine partielle Ableitung.

Du kannst dir dies anhand einer einfachen linearen Funktion klarmachen. Wenn du einen Schritt in die -Richtung gehst, erhöht dies den -Wert um . Das Verhältnis aus dem Höhenunterschied und dem winzigen horizontalen Unterschied führt zum Differenzial , die auch als Steigung bekannt ist.

In der obigen Funktion wird die winzige horizontale Verschiebung für die Inputvariable ausgeführt.

Hilfsformel

Wir gehen nur von einem Vektor mit zwei Komponenten aus.

Der Vektor erhält ein Inkrement von einem anderen Vektor . Dann wird eine Differenz berechnet.

Differenz in Komponenten:

bedeutet, die erste Komponente der Funktion . Die zweite Komponente der Funktion heißt .

Bei den drei Punkten werden zwei neue Terme eingefügt, die sich aufheben.

Die Addition dieser Terme ergibt null. Sie verändern also die Differenz in Komponenten nicht.

Nach dem Einfügen dieser beiden Terme anstelle der drei Punkte ergibt sich folgende Gleichung:

Betrachte die beiden vorderen Terme. Der Zuwachs findet bei der zweiten Komponente statt. Wie stark der Zuwachs ist, bestimmt der Faktor .

Differenz der zweiten Komponente:

Zuwachs beim rechten Term:

Zuwachs beim linken Term:

Beide Zuwächse:

Weiter:

Zuwachs beim rechten Term:

Zuwachs beim linken Term:

Beide Zuwächse:

Verallgemeinerung: