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Mehrfache partielle Ableitungen

Zweifache Ableitung der gleichen Komponente

Ableitung nach der Komponente und dann nach der Komponenten

In der Matrix werden die Terme zeilenweise abgeleitet und innerhalb einer Zeile nach den Spalten.

Die Reihenfolge der partiellen Ableitungen ist egal. Das gehorcht dem Schwarz-Theorem, das für glatte Funktionen zutrifft. „Glatt“ bedeutet, sie sind beliebig oft differenzierbar.

Beispiel

I) Beginne mit . Differenziere partiell danach.

Nutze die Ableitungsregel für die äußere Ableitung ( Nennerquadrat und negativer Zähler. Die innere Ableitung kommt ggf. hinzu.)

Nenner:

Nennerquadrat:

(Der quadratische Ausdruck kommt in den Nenner. In den Zähler wird minus eins geschrieben.)

Da die innere Ableitung des Klammerausdrucks eins ergibt, braucht man nichts weiter tun.

Der Term wurde partiell nach differenziert. Nun folgt die partielle Ableitung nach .

II) Differenziere jetzt partiell nach unter Anwendung der Ableitungsregel.

Nutze die Ableitungsregel für höhere Potenzen:

(Der Zähler erhält die negative alte Potenz . Die Nennerpotenz wird um eins erhöht. Bei Klammerausdruck im Nenner ggf. multiplizieren mit dessen innerer Ableitung.)

Nennerpotenz n:

Nennerpotenz :

Differenziere den Ausdruck von I:

Gegeben:

Nach der Ableitung nach :

(Der Zähler erhielt die negative Potenz . Sie machte das vorhandene Minuszeichen positiv. Im Nenner wurde die Potenz um eins erhöht. Hinzu kam die innere Ableitung von in der Klammer. Sie ist und wurde als Faktor in den Zähler geschrieben.)

Das umgekehrte Spiel:

Gegeben:

Differenziere partiell nach . Ergebnis:

(Ableitungsregel benutzen.)

Differenziere jetzt partiell nach :

(Ableitungsregel benutzen. Innere Ableitung ist eins.)

Die Ergebnisse sind gleich. Es kommt also auf die Reihenfolge der partiellen Ableitungen nicht an.