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Komplexe Zahlen in Polarkoordinaten

Trigonometrische Darstellung von z in Polarkoordinaten

„Argument von z“

Das Argument ist nicht eindeutig: Wir können ein Vielfaches von 2π addieren oder abziehen:

ist ebenfalls Argument von z.

„Hauptargument“

Umrechnung von/in trigonometrische Darstellung

r und φ seien gegeben

In die Punktgleichung einsetzen und r ausklammern. Der Abstand vom Nullpunkt bis z beträgt dann

Beispiel

Berechnet den Punkt z!

Gegeben sind: .

Gesucht wird z.

Rechenweg:

Werte in Formeln einsetzen

Das führt zu dem Punkt .

Trigonometrische Darstellung

Beispiel

, a und b.

Berechnet r und den Winkel !

Gegeben ist:

Gesucht wird r.

Rechenweg:

Werte in Formeln einsetzen

Da a=0 und b=-1 sind, beträgt r:

,

Bei negativem b nehmt die zweite Formel in der obigen Fallunterscheidung.

Wenn der Winkel ist, dann schneidet der Kosinus die Abszisse, in diesem Fall im negativen Teil der Achse. Der erste Schnittpunkt liegt bei .

= Winkel des komplexen Zeigers mit positiver reeller Achse (Argument von z

)

Formel von Moivre

• a, b sind rechtwinklig zueinander