• Startseite
• Inhalt
• Index

Komprehensionsprinzip (Zusammenfassung als Menge)

Beliebige Objekte kann man zu einer neuen Menge zusammenfassen. Dieses Prinzip nennt man Komprehensionsprinzip (lat. comprehendere = zusammenfassen). Zu jeder Eigenschaft E existiert eine Menge M. Solche Eigenschaften sind meistens mathematische Formeln, können aber auch dem Alltag entnommen sein, z. B. Menge aller Münzen, die aus Kupfer bestehen.

Formal:

M_e = {x | E trifft auf x zu}

Der Buchstabe E steht für „Eigenschaft“. Der Buchstabe M ist schon bekannt. Der Index E deutet an, dass diese Menge aufgrund einer bestimmten Eigenschaft E gebildet wird. Weiter unten spreche ich von einer „Aussage“ statt einer „Eigenschaft“. Beide Ausdrucksweisen kommen aufs Gleiche raus.

Die beschreibende Form ist die allgemein übliche Schreibweise in der Mathematik. Das Beispiel habe einem Mathematikbuch entnommen [Schä07, S. 9]

Die Menge A soll aus lauter verschiedenen Elementen a bestehen.

Die beschreibende Form sieht schwerer aus als sie ist. Hier soll der Index i mittels natürlicher Zahlen ausgedrückt werden, die bei 1 beginnen. Mehr steht hier nicht. Im Einzelnen:

Der Index i beginnt ab 1 und endet bei n (einer bestimmten Zahl). Er befindet sich zwischen 1 und n.

Sprich: „und i in N”

Und der Index i soll eine natürliche Zahl sein.

Die beschreibende Form der Mengen besteht aus drei Teilen. Vorne steht der Mengenname. Dahinter folgt nach dem Gleichheitszeichen in der geschweiften Klammer eine Variable. Ein senkrechter Strich | teilt diese Variable von der dahinter folgenden Bedingung oder Aussage. Der senkrechte Strich heißt übrigens „pipe” (Pfeife) .

M ist die Menge. Die Variable heißt x. Sie steht für die Elemente der Menge. Mit der Variablen wird eine Aussage A(x) gemacht. Das große A steht für „Aussage”. Sie ist abhängig von der Variablen x. Man kann prinzipiell beliebige Aussagen machen.

Mathematische Aussagen manifestieren sich in Formeln, was sattsam aus der Schule bekannt ist. Nach der Pipe sind also mehr oder weniger komplexe Formeln zu erwarten.

„Die Elemente einer Menge brauchen weder konkret noch real zu sein. Auch abstrakte oder imaginäre Objekte wie Zahlen, Einhörner, oder der Stein der Weisen können Elemente einer Menge sein. Da Mengen als Ganzheiten betrachtet werden, können die Elemente einer Menge können selbst Mengen sein. Die Bundesliga z.B. ist eine Menge von Elementen, die selbst Mengen sind, die Bundesligamannschaften, die ihrerseits Mengen von Individuen, den einzelnen Spielern, sind. Mengen können aus endlich oder unendlich vielen Elementen bestehen. Die Menge der Seminarteilnehmer ist endlich, die Menge der natürlichen Zahlen unendlich.“ [Wag97, Grundkurs 2, Kap. 5]

Bei der Aussage „Mengen können selbst Mengen sein“ muss man vorsichtig sein, denn die Aussage „die Menge aller Mengen“ führt zu einem logischen Chaos und hatte zu einem Sturm der Entrüstung in der frühen Mathematikgeschichte geführt. Die Wogen sind nun geglättet in der axiomatischen Mengenlehre durch das Aussonderungsprinzip. Danach muss es zu jeder Eigenschaft E und zu jeder Menge X eine Menge Y geben, für die gilt:

Hier wird die Menge Y nicht aus sich selbst gebildet. Vielmehr entstand sie aus der Aussonderung von Elementen aus der Menge X, die bestimmte Eigenschaften haben. Elemente der Menge X werden separiert und zu einer neuen Menge mit dem neuen Namen Y zusammengefasst.