Konvergenz und Grenzwert

[image] Definition

 

Eine Zahlenfolge [image] heißt konvergent gegen a, wenn [image]. [image] [image]. Die Zahl heißt Grenzwert der Folge [image].

 

[image] Symbolik

 

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oder

 

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Umgangssprachlich:

 

Wie klein auch [image] vorgegeben wird, von einen gewissen Index n0 hat kein Glied der Folge einen Abstand [image] zu a.

 

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[image] Beispiel

 

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[image] für alle [image]

 

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[image] größte ganze Zahl für die gilt [image]

 

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Bemerkung:

 

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[image] Satz 2

 

Jede monotone und beschränkte Folge ist konvergent.

 

[image] Beispiel

 

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[image] für hinreichend großes n

 

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[image] ist monoton fallend [image]. Folge ist beschränkt.

 

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Betrachten:

 

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