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Konvergenzradius

Satz: Konvergenzradius

Jede Potenzreihe besitzt einen Konvergenzradius , so dass die Reihe im Konvergenzkreis konvergiert und für divergiert.

In jedem Kreis vom Radius um den Nullpunkt konvergiert die Reihe gleichmäßig.

Beweisskizze

Wurzelkriterium

Es liegt Konvergenz vor, wenn und Divergenz, wenn

Falls existiert, so gilt für den Konvergenzradius

Allgemein:

Wenn es schwierig wird, weichen wir auf Quotientenkriterium aus. Wurzelkriterium ist schärfer, aber wenn Quotientenkriterium Konvergenz bringt, dann auch gut.

Reihe konvergiert für alle z. Konvergenzradius .

Definition:

Beispiel

Konvergenzradius

Folgerung:

Die logische Reihe konvergiert für . So konvergiert wegen dem Leibnizkriterium auch für .

Beispiel

Konvergenzradius

Durch Addition beider Reihen erkennbar, weil dann e^x Reihe (schon errechnet).