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Koordinaten

Koordinaten

Ein praktisches Beispiel. Jemand fragt euch: Wo wohnt ihr? Ihr antwortet: „Ich wohne in der X-Straße 9 in Köln“. Jetzt weiß jeder, wo das in Köln ist. Mit der Zahl 9 gebt ihr die Hausnummer an, wo ihr in der X-Straße wohnt.

In der Mathematik würdet ihr dazu Koordinaten benutzen. Die sehen so aus wie auf dem Schaubild mit den vielen Kästchen. Das lateinische Wort Koordinate heißt auf Deutsch „Lageangabe“, also wo was ist. Das Wort stammt vom dem lateinischen Begriff linea ordinata = geordnete Linien. Die Vorsilbe co- (zusammen, mit) deutet darauf hin, dass zwei Linien aufeinander stoßen, nämlich einmal die senkrechte und einmal die waagerechte Linie. Zusammen ergeben sie ein Kreuz. Deshalb sagt man auch Koordinatenkreuz.

Wenn ihr antwortest, wir wohnen da und da, dann weiß der andere, wo das ist.

Koordinatenkreuz

Wie auf dem Bild links, wo der Punkt P zu sehen ist. Der Buchstabe P ist die Abkürzung für das Wort Punkt.

Stellt euch mal ganz unten (links) hin, da wo der eckige Punkt ist. Um zum Ort P zu kommen, gehst erst du drei Schritte (oder Kästchen) nach rechts und dann zwei Schritte nach oben.

Das könnt ihr selber nachzählen. Oder wenn ihr schlau seid, geht ihr einfach direkt zum Punkt P und seid gleich da. Egal, wie ihr es macht, ihr werdet zum Punkt P gelangen, wo ihr hin wollt.

Der Mathematiker schreibt das so auf: P(3|2)

Das bedeutet: 3 Schritte nach rechts, 2 Schritte nach oben.

In den Klammern steht zuerst der Schritt nach rechts und hinter dem Komma der Schritt nach oben. Das ist immer so und leicht zu merken. Mathematik ist manchmal genial einfach. Man kann auch schöne Kurven in ein solches Koordinatenkreuz malen. Die habt ihr bestimmt schon gesehen.

Der Begriff Koordinate bedeutet „mit geordneter Linie“. Das Wort „Linie“ ist hier allerdings weggelassen.

Die Ebene besteht also aus lauter Punkten, die sich in einem Koordinatensystem befinden. Der Ursprung 0 (sprich: o wie der Buchstabe o) gehört auch dazu. Das ist die Abkürzung für lateinisch origo (Ursprung).

Bei der Ebene stehen die beiden Richtungsachsen orthogonal (senkrecht) aufeinander. Sie schneiden sich im 90°-Winkel.

Die horizontale Achse wird als Abszissenachse (von lat. linea abscissa „abgeschnittene Linie“) oder Rechtsachse bezeichnet. Die vertikale Achse heißt Ordinatenachse (von lat. linea ordinata „geordnete Linie“) oder Hochachse.

Im Schülerjargon heißen sie auch x-Achse (waagerecht) und y-Achse (senkrecht).

2-dimensionales kartesisches Koordinatensystem mit 3 Punkten P, Q und R

Für einen Punkt P mit den Koordinaten x und y schreibt man P(x,y) oder auch P(x|y). Die Schreibweise mit dem senkrechten Strich zwischen den Koordinaten x und y ist vor allem angebracht bei Kommazahlen. Das ist dann übersichtlicher zu lesen als ein Semikolon, z.B. P(0,3 ; 4,7). Nach amerikanischer Notation könnte man statt des Kommas einen Punkt setzen: P(0.3 , 4.7) oder P(0.3|4.7).

Zwei Punkte P und Q können miteinander verbunden und mit einer Pfeilspitze versehen werden. Dieser Pfeil heißt Verbindungsvektor. Der Vektoranfang bei P heißt „Schaft“. Die Spitze bei P heißt „Spitze“. Statt Verbindungsvektor sagt man auch kurz Vektor. Das geometrische Symbol für den Vektor ist . Es wird beim Rechnen selten verwenden. Verabschiedet euch ruhig von der geometrischen Vorstellung und konzentriert euch auf die Charakterisierung des Vektors als „gerichtete Größe“. Im mehrdimensionalen Vektorraum ist es sowieso Schluss mit der menschlichen Vorstellungskraft.

Eine gebräuchliche Schreibung für den Vektor ist ein Buchstabe mit einem Pfeil drauf, also so:

. Man kann auch einen Buchstaben nur fett (allerdings ohne den Pfeil drüber) a drucken. Das ist besonders in der Physik üblich, z.B. F=ma. Der Kraftvektor F ist gleich dem Produkt aus der Masse m und ihrem Beschleunigungsvektor a.

Das gleiche physikalische Gesetz in einer anderen Vektordarstellung:

oder mit halbem Pfeil:

Diese Schreibweise trifft auf ihre Grenzen, wenn man Ableitungen bildet. Vergleicht mal die differenzierten Vektoren oder mit . Die Fettschreibung des Vektors hat mit Sicherheit große optische Vorteile.

Den Gebrauch der alten Frakturschrift für Vektoren lehne ich ab. Sie ist nicht nur schwer zu lesen, sondern sieht auch grässlich zerfleddert aus und ihre Buchstaben sind mit anderen lateinischen oder griechischen Buchstaben verwechselbar. Beispiele: . Links steht der Frakturbuchstabe, rechts der lateinische Buchstabe, wie wir ihn gewöhnt sind.

Ein Vektor lässt sich mit Hilfe der Koordinaten bezüglich der Basis wie folgt (eindeutig) darstellen.

• Bezüglich der kanonischen Basis sind die Koordinaten genau die Komponenten des Vektors

• Der Vektor der Koordinaten heißt Koordinatenvektor

• Die Rechenregeln für Summe von zwei Koordinatenvektoren der gleichen Basis und die Regeln der Multiplikation mit einem Skalar sind identisch mit den Regeln für Vektoren.

• linear unabhängig linear unabhängig