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Das Wesen des Vektors

Ein Vektor ist eine Liste von Zahlen. In diesem Kapitel werden wir nur reelle Vektoren betrachten, d.h. Listen von reellen Zahlen. Damit können mehrere Zahlen zu einem mathematischen Objekt zusammengefasst werden - eine praktische Angelegenheit. Ein Vektor kann - ebenso wie eine Zahl - einen Buchstaben oder ein anderes Symbol als Namen bekommen. Um einem Symbol gleich anzusehen, ob es für einen Vektor steht, ist es üblich, dafür eine eigene Schreibweise zu verwenden. Mehrere Konventionen sind gebräuchlich, vor allem: Kennzeichnung durch einen Pfeil oder durch Fettdruck :

Je nach der verwendeten Schreibweise bezeichnet dann

oder

einen Vektor. Die Pfeildarstellung zeigt klar und deutlich, dass ein Vektor vorliegt.. Ein Beispiel für einen Vektor ist

(3, -2, 4)

Wollen wir ihm den Namen geben, so schreiben wir:

Seine Eintragungen, die Zahlen 3, -2 und 4, nennen wir seine Komponenten und nummerieren sie durch: Die erste Komponente dieses Vektors ist 3, die zweite ist -2, usw. Da wir seine Komponenten nebeneinander geschrieben haben, sprechen wir von einem Zeilenvektor. Wir können die Eintragungen eines Vektors auch untereinander schreiben, beispielsweise

und nennen ihn dann einen Spaltenvektor. In diesem Kapitel werden wir zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren nicht unterscheiden - welche Form bevorzugt wird, ist eine Sache der Bequemlichkeit (Zeilenvektoren lassen sich auf Webseiten leichter anschreiben, während Spaltenvektoren, wie wir sehen werden, günstiger zum Rechnen sind).

Vektoren, die zwei Eintragungen besitzen, wie beispielsweise (4), heißen zweikomponentige (auch zweidimensionale) Vektoren. Vektoren, die drei Eintragungen besitzen, wie beispielsweise (3), heißen dreikomponentige (auch dreidimensionale) Vektoren.

Ganz allgemein nennen wir Vektoren, die n Eintragungen besitzen, n-komponentige oder n-dimensionale Vektoren. Ein Spezialfall ist n = 1:

Ein einkomponentiger oder eindimensionaler Vektor ist eine Zahl (Skalar).

Im Rahmen der Vektorrechnung ist es üblich, Zahlen als Skalare zu bezeichnen. Das hat einen geometrischen Grund, auf den wir unten zu sprechen kommen.

Den Ausgangspunkt nennen wir Schaft, den Zielpunkt Spitze. Da der Ausgangspunkt beliebig ist, stellt das Zahlenpaar (5,3) jeden Pfeil dar, der auf diese Weise entsteht. In der Skizze rechts haben wir zwei solcher Pfeile für verschiedene Ausgangspunkte gezeichnet. Jeder der beiden Pfeile wird vom selben Vektor, nämlich (5) dargestellt.

Auf diese Weise kann jeder zweikomponentige Vektor durch Pfeile dargestellt werden. Ist eine seiner Komponenten negativ, so wird vom Schaft in die entgegengesetzte Richtung (nach links bzw. nach unten) gegangen, ist eine Komponente 0, wird der entsprechende Zug ausgelassen. Da die zweikomponentigen Vektoren so schön in die Zeichenebene passen, nennt man sie auch ebene Vektoren.

Wichtig ist, dass ein Vektor nicht nur einem Pfeil entspricht, sondern vielen. Ein Pfeil in der Zeichenebene ist durch drei Dinge eindeutig bestimmt: seinen Ausgangspunkt (Schaft), die Richtung, in die er zeigt, und seine Länge. Alle Pfeile, die einen gegebenen Vektor darstellen, zeigen in die selbe Richtung und sind gleich lang. Sie unterscheiden sich nur durch den Ort ihres Schafts. In der Praxis zeigen wir oft auf einen konkreten Pfeil und nennen ihn einen Vektor. Genau genommen ist das eine schlampige Bezeichnung. Der Einfachheit halber gönnen wir sie uns, sollten aber nicht vergessen, dass auch alle anderen Pfeile derselben Richtung und Länge zum gleichen Vektor gehören. Manchmal wird das so ausgedrückt, dass ein Pfeil ein Repräsentant für einen Vektor (nicht aber mit diesem identisch) ist.