Lineare Abbildungen eines Vektors

[image](Quellraum) und [image] (Zielraum) seien Vektorräume über demselben skalaren Körper [image]. Die Abbildung [image] heißt linear, wenn für alle [image]und [image] gilt:

 

Additivität

 

[image]

 

Homogenität

 

[image]

 

Eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen wird auch als Homomorphismus bezeichnet.

 

• [image]

 

• [image]

 

 

• integrieren und differenzieren von Polynomen sind lineare Abbildungen.

 

Algebraische Struktur im [image]

Definition: Es seien [image] und [image]

Die Addition ist eine positive assoziative und kommutative Operation.

 

[image]

 

Die Multiplikation ist kommutativ und distributiv, außerdem gilt [image] und [image].

 

[image]

 

Das neutrale Element bezüglich der Addition ist der Nullvektor [image].

 

[image]

 

Gleichungen der Gestalt [image] sind lösbar: [image].

 

[image]

 

 

Durch die Gültigkeit dieser Gesetze für den [image] wird dieser zu einem „linearen Raum“ über den Körper [image] der reellen Zahlen oder „Vektorraum“.

 

Geometrische Interpretation für n = 2, 3

 

 

 

[image]

 

[image]

 

[image] und [image] sind Einheitsvektoren (Basisvektoren)

 

[image] kann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden:

 

[image]

 

 

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie gleiche Länge und Richtung haben.

 

Koordinatendarstellung

 

[image]