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Leere Menge (Nullmenge)

Die leere Menge ist die Menge, die keine Elemente enthält. Zwischen den Mengenklammern { } befindet sich gar nichts. Die Menge ist leer. Hat man keinen Cent in der Tasche, dann hat man eben nichts. Mehr gibt es dazu nicht zu sagen.

A = { }

|A| = 0

Die Betragsstriche drücken die Anzahl der Elemente aus. Hier sind es 0 Elemente.

Statt der leeren Klammern nimmt man die durchgestrichene schmale Null oder die etwas fülligere durchgestrichene Null .

Formal:

Die leere Menge ist nicht nichts, sondern eine Menge, die nichts enthält, symbolisiert nach der Pipe | durch . Man kann sie durch eine beliebige unerfüllbare Eigenschaft definieren.

Die leere Menge ist eine spezielle Menge, eine Teilmenge, die durch „Aussonderung“ aus anderen Mengen entsteht. Diese „Aussonderung“ passiert üblicherweise durch Anwenden mathematischer Formeln. Wenn das zu keinem Ergebnis führt, ist keine Lösung vorhanden, oder anders ausgedrückt, die Lösungsmenge ist leer.

Die Leermenge ist also das Resultat einer bestimmten „Aussonderung“ von Elementen einer anderen Menge, was unmittelbar zu dem Axiom des Aussonderungsschemas (Aus) führt.

Merkt euch: Jede Menge enthält auch die leere Menge als Teilmenge, nur ist sie „unsichtbar“.

Die leere Menge ist Teilmenge der Menge M.

So müsste man eigentlich jede Menge schreiben, doch ist das mit dem Leere-Mengen-Symbol doch zu viel Schreiberei. Man lässt es, wenn entbehrlich, weg.

Alle weiteren Mengen werden dann mit Hilfe von konstruiert. Hier sind Beispiele einiger verschiedener Mengen.

Zahl 0:=

Die leere Menge entspricht der Zahl 0.

Zahl 1 :=

Formal:

Eine Menge X wird mit ihrer Menge {X} vereinigt. Bauplan: Die vorne befindliche Menge in Klammern setzen und dann mit der vorne befindlichen Menge vereinigen. Bei der Zahl 1 wurde die leere Menge für die Zahl 0 in Klammern gesetzt und mit der klammerlosen Leermenge vereinigt. Die Menge, die die Zahl 1 symbolisiert, hat ein einziges Element, die Leermenge. Die Zahl 2 muss entsprechend zwei Leermengen enthalten. Setzt sie schrittweise zusammen. Schreibt zuerst die beiden Zahlen 0 und 1 hin: . Dann setzt diese beiden Zahlen in geschweifte Klammern: . Vereinigt nun die beiden Zahlen 0 und 1 damit, was die Zahl 2 ergibt.

Zahl 2:=

Die Menge der Zahl 2 entsteht aus der Vereinigung der vorangegangenen Mengen der Zahl 0 und 1 und einer erneuten Mengenbildung aus diesen beiden Mengen.

Die Zahl 3 wird aus dieser Vereinigung gebildet. Also eine geschweifte Klammer darum setzen und die vorherigen Vereinigungsmengen damit vereinigen.

Zahl 3 :=

vereinigt mit

Je weiter man mit diesem Prinzip fortschreitet, umso unübersichtlicher wird die Mengendarstellung, besonders für den Autor des Buches, der mit den Latexformeln arbeiten muss, die zugegebenermaßen kryptisch aussehen:

\underset{X}{\underbrace{\varnothing \cup \left \{ \varnothing \right \}\cup \left \{ \varnothing,\left \{ \varnothing \right \} \right \}}}\cup\left \{ \varnothing \cup \left \{ \varnothing \right \}\cup \left \{ \varnothing,\left \{ \varnothing \right \} \right \} \right \}

Wer hat hier Appetit bekommen?