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Lineare Unabhängigkeit und Basen

Wähle zwei Verschiebungen der Vektoren und . Die beiden Vektoren haben nicht die gleiche Richtung und liegen nicht auf einer Geraden. Daher gibt es keinen Koeffizienten der ein Vielfaches eines der beiden Vektoren ist.

Diese Vektoren sind also linear unabhängig. Sie können jedoch durch eine geschickte Linearkombination jeden Punkt in der Ebene erreichen. Sie können jeden Vektor dieser Ebene darstellen.

Die beiden Vektoren stehen senkrecht aufeinander und zeigen in verschiedene Richtungen (= Dimensionen).

Anhand dieses Beispiels siehst du, dass der Vektor durch eine Längung von erzeugt wird. Die Länge von bleibt hingegen gleich. Die Summe der beiden Vektoren ergibt den Vektor . Man kann auch sagen, die Linearkombination der beiden -Vektoren führt zum Vektor .

Diese speziellen Vektoren haben den Namen Basisvektoren, weil aus ihnen neue Vektoren gebildet werden können.

In Komponentendarstellung:

Die Basis in diesem Beispiel besteht aus senkrecht aufeinander stehenden Vektoren. Sie heißen Standard-Basisvektoren.

Die obige Basis ist vergleichbar mit dem kartesischen Koordinatensystem. Die Zahl entspricht Einheiten auf der -Achse. Die Zahl entspricht nur einer Einheit auf der -Achse. Die Komponenten geben wieder, was du tun sollst, nämlich von einem bestimmten Punkt aus Einheiten nach rechts zu gehen und dann Einheit nach oben.

Die Basisvektoren haben die Länge eins.

Nur die Richtung der Basisvektoren ist ganz verschieden. Der Basisvektor zeigt in die -Richtung, während der Basisvektor in die -Richtung zeigt. Analog zeigt der Basisvektor in die -Richtung.